1.1.2.0.6 Cas limite des petites hauteurs

Le travail présenté ici -- l'étude des ondes hydrothermales -- correspond à l'hypothèse des minces couches, i.e., l'hypothèse que la hauteur de fluide est faible. Cela permet de négliger les effets thermogravitaires devant les effets thermocapillaires. En effet le rapport $\mathit B{\mathrm d}\xspace$ est proportionnel à $h^2$ et vaut exactement 1 pour $h=h_{\text e}$, et la limite $h \rightarrow 0$ est équivalente à $\mathit R{\mathrm a}\xspace \rightarrow 0$. Nous retrouvons alors les résultats obtenus en l'absence de gravité ($g=0$).

De plus, la présence d'une tension de surface implique l'existence d'une échelle spatiale appelée longueur capillaire $\lambda_{\text c}$ :

$$\lambda_{\text c} = \sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}}$$ (1.5)

Application numérique : pour l'eau à 20$^\circ$C, $\lambda_c \simeq$ 2.8 mm et pour l'huile utilisée, à 25$^\circ$C, $\lambda_c \simeq$ 1.4 mm.

Les ondes purement hydrodynamiques -- dans un fluide isotherme donc sans intervention du champ $T$ -- de longueur d'onde $\lambda$ sont alors de deux types :

$\lambda \ll \lambda_{\text c}$		: ondes capillaires
$\lambda \gg \lambda_{\text c}$		: ondes de gravité

Notons tout de suite que les ondes hydrothermales, couplées au champ de température, n'entrent dans aucune des deux catégories ci-dessus. Notons aussi que leur longueur d'onde est de l'ordre de $\lambda_c$ et qu'elles se situent à la limite entre les deux phénomènes. Nous pouvons donc nous attendre à un couplage entre les ondes hydrothermales et des ondes hydrodynamiques (capillaires ou de gravité).