Présentation

Afin d'établir un lien entre les structures spatiales des ondes observées en géométrie cylindrique et cartésienne, nous proposons ici une comparaison simple des deux systèmes de représentation.

Considérons, en géométrie rectangulaire de coordonnées $(x,y)$ une onde « plane » : les courbes isophases sont des segments parallèles entre eux, inclinés d'un angle $\psi$ par rapport à l'axe des $x$ (direction du gradient de température). Remplaçons alors les coordonnées $(x_\parallel,x_\perp)=(x,y)$ de la géométrie rectangulaire par les coordonnées $(x_\parallel,x_\perp)=(r,\theta)$ de la géométrie cyclindrique. Cette transformation de pensée revient à considérer la géométrie cylindrique et ses coordonnées polaires en lieu et place des coordonnées cartésiennes de géométrie rectangulaire. La coordonnée $x_\parallel$ est toujours celle le long du gradient de température et $x_\perp$ la coordonnée dans la direction orthogonale.

Figure: Pliage d'une onde plane : à gauche représentation dans un repère orthonormé de coordonnées $(\theta,r)$ ; à droite : représentation rclassique (coordonnées polaires, spirales d'Archimède).

Cette opération revient à « plier » le graphe du rectangle de manière à retrouver un domaine cylindrique, en raccordant les points $\{(\theta=0,r)\}$ aux points $\{(\theta=2\pi,r)\}$, i.e., en imposer des conditions aux limites périodiques en $\theta$. Le résultat est représenté sur la figure  : on trouve alors un ensemble de branches de spirales d'Archimède.