3.2.3.3 c. Régime convectif de front : K K

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3.2.3.3 c. Régime convectif de front : K $\leq \Delta T \leq \Delta T_{\text a}^{\text{Eck}} = 5,56$ K

Que se passe-t-il si nous diminuons la contrainte $\Delta T$ ? Nous présentons maintenant le régime intermédiaire entre le voisinage du premier seuil -- où les ondes sont stables d'Eckhaus -- et le régime absolument instable d'Eckhaus -- au delà de 5,56 K. Dans ce régime intermédiaire, les comportements sont beaucoup plus diversifiés.

La figure illustre un premier cas simple d'instablité convective où une perturbation initiale nourrit pendant de nombreuses périodes une modulation qui est petit à petit advectée vers l'aval par la vitesse de groupe. Le système relaxe donc vers un état uniforme, sans modulation. Dans ce régime, les ondes sont instables d'Eckhaus, mais le taux de croissance temporel des modulations est négatif et il est impossible de définir une position stationnaire du front des dislocations. Celui-ci n'existe que lors de périodes transitoires ; par exemple après une perturbation mécanique du système (ajout d'une goutte d'huile) ou bien un changement de $\Delta T$ .

**Figure:** Instabilité d'Eckhaus convective. Diagrammes spatio-temporels du nombre d'onde local instantané dans le rectangle pour $\Delta T= 5,54$ K (en haut) et $\Delta T=5,52$ K (en bas). A gauche sont reproduits les signaux $\partial \phi / \partial y$ et à droite les amplitudes des modulations de nombre d'onde telles que données par une transformée de Hilbert en temps. Les diagrammes de gauche révèlent clairement que la zone 21 est instable : l'amplitude de la modulation est croissante en espace et décroissante en temps ; l'instabilité est convective.
$\includegraphics[width=7.5cm]{b01dkx}$ $\includegraphics[width=7.5cm]{b01dkxf}$ $\includegraphics[width=7.5cm]{a27ekx}$ $\includegraphics[width=7.5cm]{a27ekxf}$

Nous pouvons néanmoins définir un taux de croissance spatial $\xi_{21}^{\text{Eck}}$ . Ce dernier est positif au delà d'une certaine valeur $\Delta T = 5.45$ K, ce qui confirme la notion d'instabilité d'Eckhaus même si le front est évacué hors de la cellule. La dépendance de $\xi_{21}^{\text{Eck}}$ vis à vis de $\Delta T$ est reproduite sur la figure . Ce taux de croissance spatial tend vers zéro quand $\Delta T \rightarrow 5,45$ K par valeurs supérieures.

**Figure:** Variation du taux de croissance spatial, en fonction de $\Delta T$ , mesuré sur des états de relaxation (symboles $\circ$ ). $\xi_{21}^{\text{Eck}}>0$ signe des états instables. Les points de la zone d'instabilité d'Eckhaus absolue (symboles $\square$ ) sont reproduits pour comparaison.
$\includegraphics[width=8cm]{xi-eck-b}$

Remarquons que les états décrits jusqu'à présent étaient caractérisés par la relaxation d'une perturbation forte (remplissage typiquement) ou bien par diminution de $\Delta T$ à partir d'un état absolument instable d'Eckhaus. Nous pouvons en cela les appeller des états fortement non-linéaires.

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Nicolas Garnier - Thèse de doctorat