3.2.3.2 b. Etats absolument instables d'Eckhaus : $\Delta T \geq \Delta T_{\text a}^{\text{Eck}} = 5,56$ K

Commençons par la description du régime instable d'Eckhaus le plus simple à décrire. Pour $\Delta T > 5,56 \pm 0.03$ K, la source émet une onde instable vis à vis de modulations de phase. En effet, une modulation de phase est observée : si nous regardons une image de la fréquence locale $\omega = \partial \phi / \partial t$ ou du nombre d'onde local $k_y = \partial \phi / \partial y$ (fig. ), nous voyons clairement une oscillation de la fréquence se propager -- à la vitesse de groupe -- tout en étant amplifiée. Cette modulation n'est pas saturée et elle conduit la structure à changer de fréquence lors d'un saut de phase, accompagné d'un trou d'amplitude. En aval de cette dislocation spatio-temporelle, le nombre d'onde local est différent et une modulation résiduelle relaxe à zéro. Après la catastrophe, l'onde émise par la source est toujours instable mais il lui faut un certain temps pour qu'une nouvelle modulation soit amplifiée jusqu'à produire une nouvelle dislocation. Les dislocations forment un front séparant la zone de nombre d'onde $21$, instable, émis par la source et la zone de nombre d'onde post-dislocation $17$, stable. De tels objets ont déjà été observé dans le système de Taylor-Dean par Bot et Mutabazi (2000) où ils permettaient de même un changement de fréquence. Le régime observé pour $\Delta T > 5,56$ K est ainsi caractérisé par la périodicité temporelle des dislocations et la stabilité spatiale du front de dislocation qui occupe ainsi une position stationnaire. Cette position dépend du gradient de température appliqué. En dessous de $\Delta T=5,56$ K et sans perturber le système, aucune modulation n'est observée et les états sont uniformes.

Une transformée de Hilbert en temps de l'image réelle de nombre d'onde (figure ), resp. de fréquence, nous donne alors accès à l'amplitude locale et instantanée de la modulation de nombre d'onde, resp. de fréquence. A partir d'une telle image, nous pouvons mesurer la position $\xi_{\text d}$ du front des dislocations ; cette position est constante au cours du temps dans le présent régime et nous avons une bijection entre $\Delta T$ et $\xi_{\text d}$. A partir d'un profil moyen de l'amplitude de la modulation de fréquence (figure ), nous mesurons $\xi_{\text d}$ ; nous avons aussi accès au taux de croissance spatial de cette modulation. Celui-ci est stationnaire ; nous notons alors $1/\xi_{21}^{\text{Eck}}>0$ le taux de croissance de la modulation dans la zone du mode $21$ (instable) et $1/\xi_{17}^{\text{Eck}}<0$ le taux de (dé)croissance de la modulation dans la zone du mode $17/L$ (stable) :

$$\begin{array}{ll} \smallskip \delta k \propto \delta \om... ... & \quad \text{dans la zone $k L/2\pi=17$}\\ \end{array}$$

Figure: Instabilité d'Eckhaus absolue. Diagramme spatio-temporel du nombre d'onde $k_y(y,t)$ local instantané dans le rectangle pour $\Delta T= 5,65$ K. A gauche est reproduit le signal $\partial \phi / \partial y$ et à droite l'amplitude de la modulation de $\partial \phi / \partial y$ telle que donnée par une transformée de Hilbert en temps.

Figure: Profil spatial moyen de la modulation d'amplitude extrait du diagramme de la figure , pour $\Delta T= 5,65$ K. A gauche : profil en échelle linéaire ; à droite : profil en échelle logarithmique, révélant les variations exponentielles et justifiant la définition des taux de croissance spatiaux.

Nous qualifions ce régime d'instabilité d'Eckhaus d'absolue car la position du front de dislocations est fixe dans le référentiel du laboratoire, ce qui signifie que les modulations ne sont pas advectées hors de la cellule mais restent à une position bien déterminée. Nous pouvons mesurer un taux de croissance temporel positif pendant le régime transitoire d'installation des modulations et dislocations ; ce taux est ensuite nul car le régime asympotique est stationnaire.

La figure  représente alors l'évolution des grandeurs $\xi_{\text d}$ et $\xi_{21}^{\text{Eck}}$ en fonction de $\Delta T$ dans le régime absolument instable d'Eckhaus. La zone d'instabilité absolue est alors limitée à $\Delta T \geq 5,56 \pm 0.03$ K, et l'évolution de la position du front est discontinue en cette valeur.

Figure: Variation de la position du front de dislocations (à gauche) et des taux de croissance spatiaux (à droite), en fonction de $\Delta T$, dans la zone d'instabilité d'Eckhaus absolue. Le front de dislocations est par convention positionné en $y=L$ lorsqu'aucune modulation n'est présente, i.e., en dessous de 5,56 K.

Nous observons une augmentation du taux de croissance spatial $\left(\xi_{21}^{\text{Eck}}\right)^{-1}$ avec le paramètre de contrôle et nous pouvons ajuster cette évolution par une loi linéaire.

Nous pouvons remarquer que les dislocations surviennent lorsque l'amplitude des modulations de la fréquence a atteint une valeur limite $\Omega$ que l'on peut noter :

$$\Omega = \delta \omega_0 \:\displaystyle$$   e$$^{\xi_{\text d}/\xi_{21}^{\text{Eck}}}$$

Cette valeur de la modulation est constante d'une réalisation sur l'autre et ne dépend pas de $\Delta T$, comme l'illustre la figure . Elle se trouve être égale à la différence des fréquences du mode 21 (instable) et du mode 17, c'est-à-dire à la fréquence des modulations. Cela s'interprète aisément en imaginant que la dislocation survient lorsque la fréquence locale dans la zone 21 a atteint la valeur de la fréquence du mode 17 : le système a alors accès à ce nouveau mode, qui a l'avantage d'être stable ; de manière équivalente, la dislocation survient lorsque l'amplitude de la modulation de fréquence atteint la valeur de la fréquence de la modulation. Ce raisonnement est aussi valable pour les nombres d'onde.

Figure: Superposition de différents profils d'amplitude de modulation de fréquence obtenus pour des différentes valeurs de $\Delta T$. Plus celle-ci est élevée et plus le front de dislocations est proche de la source à gauche de la cellule. L'éclatement et le saut de phase ont apparemment toujours lieu pour une même amplitude $\Omega \simeq 0.03$ Hz de la modulation qui correspond exactement à la différence $f_{21}-f_{17}$ des fréquences du mode 21 et du mode 17, i.e. à la fréquence de la modulation.

Notons enfin que le front de dislocations peut avoir une certaine « largeur », notamment pour les plus faibles valeurs de $\Delta T$ dans la zone d'instabilité d'Eckhaus absolue. Dans ces régimes, stationnaires eux aussi, le front a bien entendu toujours une position fixe, mais les dislocations surviennent alternativement à deux abscisses distinctes. Ce phénomène de battement est illustré sur la figure  ; il n'altère en rien les définitions et conclusions précédentes, et nous avons traité ce cas comme celui d'un front « unique ».

Figure: Instabilité d'Eckhaus absolue. Diagramme spatio-temporel de la fréquence instantanée dans le rectangle pour $\Delta T= 5,58$ K. Le front de dislocations est double.