3.2.3.1 a. Présentation générale

Lorsque $\Delta T$ est augmenté à partir du seuil primaire des ondes tel qu'étudié en § , une onde majoritaire envahit progressivement toute la cellule en éliminant l'onde inverse. S'installe alors un régime où l'onde majoritaire (que nous prendrons toujours être une onde droite) atteint son amplitude à saturation presque partout dans la cellule. La fréquence et le nombre d'onde sont uniformes et ce dernier est à peu près constant, et vaut environ $21.(2\pi/L) \simeq k_0$ ce qui signifie que 21 longueurs d'onde sont présentes dans la boîte ; nous appellerons ainsi l'onde correspondante le « mode 21 ». Jusqu'à $\Delta T \simeq 5,5$ K, ce mode est parfaitement homogène et stable. La figure  représente en fonction de $\Delta T$ l'évolution du nombre d'onde local dans la cellule, ainsi que de la fréquence.

Au delà de 5,5 K environ, l'instabilité d'Eckhaus survient dans la cellule rectangulaire tout comme dans la cellule annulaire. Nous observons ainsi une instabilité de la phase du mode 21 ; cette instabilité est signée par l'apparition de modulations conduisant éventuellement à des dislocations qui permettent à un nouveau mode de s'installer. Ce nouveau mode est appellé mode 17 (mode dont le nombre d'onde vaut environ $17.(2\pi/L)$). Nous avons pu mesurer le nombre d'onde local et la fréquence locale dans chacune des zones 21 et 17 ; la figure  révèle ainsi la présence de l'instabilité secondaire par le dédoublement des courbes de nombre d'onde et de fréquence. A partir de diagrammes spatio-temporels de fréquence ou de nombre d'onde local(e) instantané(e), nous pouvons mesurer le nombre d'onde et la fréquence des modulations dans le régime instable d'Eckhaus ; ces valeurs sont ainsi reproduites sur la figure . Nous pouvons remarquer que le nombre d'onde de la modulation est égal à la différence des nombres d'onde du mode 21 et du mode 17 ; il en est de même pour la fréquence des modulations. Il est aussi possible de mesurer un taux de croissance temporel de la modulation $\sigma$, lors des régimes transitoires par exemple ; nous définirons aussi plus loin un taux de croissance spatial.

La vitesse de groupe étant finie (cf Fig. ), cette instabilité est a priori convective au seuil, et devient éventuellement absolue au delà d'un second seuil, situé plus haut. Le petit schéma ci-dessous situe les principaux régimes d'instabilité d'Eckhaus du mode 21 :

Pour des raisons de clarté, nous exposerons nos résultats en commençant par les plus hautes valeurs de $\Delta T$, pour lesquelles l'instabilité d'Eckhaus est absolue, et nous descendrons progressivement les valeurs de $\Delta T$.

Figure: Evolution du nombre d'onde (à gauche) et de la fréquence (à droite) dans le rectangle lorsque l'on s'éloigne du seuil d'apparition des ondes et que survient l'instabilité d'Eckhaus. Le segment sur le graphe de gauche repère la zone de $\Delta T$ étudiée en §  au voisinage du seuil primaire (la figure  est ainsi un détail dans cette zone). Les deux branches au delà de $\simeq 5,5$ K signalent l'instabilité modulationnelle d'Eckhaus (voir texte). Les carrés ($\square$) et les ronds ($\circ$) correspondent respectivement aux modes 21 et 17.

Figure: Evolution de la vitesse de phase $v_\phi = k/\omega$ (à gauche) et de la vitesse de groupe (à droite, mesurée comme vitesse de propagation de perturbations) dans le rectangle en fonction de $\Delta T$. Les carrés ($\square$) et les ronds ($\circ$) correspondent respectivement au modes 21 et 17. Le premier point du graphe de la vitesse de groupe, pour $\Delta T=3,1$ K, correspond à la valeur au seuil dans l'anneau.

Figure: Evolution du nombre d'onde (à gauche) et de la fréquence (à droite) de la modulation de phase dans le rectangle en fonction de $\Delta T$ lorsque des états instables d'Eckhaus sont observés.

A titre indicatif, le rapport des fréquences des modes 21 et 17 est reproduit sur la figure . Ce rapport semble à peu près constant et sa valeur (1,13 = 113/100) est assez loin d'une fraction non-réductible simple. Nous en déduisons qu'il n'y a pas d'accrochage entre les deux modes 21 et 17.

Figure: Evolution du rapport des fréquences du mode 21 et du mode 17 dans la zone de températures où le mode 21 est instable d'Eckhaus et où le mode 17 est stable d'Eckhaus.

Figure: Représentations schématiques de l'amplitude d'une modulation d'Eckhaus sur un état convectivement instable et absolument instable en géométrie finie ou semi-infinie. Tout comme sur la figure , c'est le signe de la vitesse du front arrière qui détermine le caractère de l'instabilité. L'instabilité n'est pas saturée non-linéairement, mais éclate en un trou d'amplitude associé à un saut de phase. Le front avant est par conséquent esclave du front arrière (cf. le taux de croissance spatial est constant). Ces schémas sont une reprise épurée des résultats expérimentaux.