B.3.0.1 Courbe d'Eckhaus

Nous pouvons chercher analytiquement la limite de stabilité d'une solution de Stokes de l'équation ${\mathbb{C}}$GL modifiée, dans la limite des perturbations de grande longueur d'onde $\kappa \rightarrow 0$. Pour cela, nous recherchons le coefficient de diffusion de la phase :

$$D_\parallel = - \frac{{\cal A} Q^4 + {\cal B} Q^2 + {\cal C}}{2 p^2 Q^2}$$ (B.2)

où

$$\left\{ \begin{array}{r@{\:}l} {\cal A} &= -2 \eta p^3 + ... ...\ {\cal C} &= 4 q^2 (p^2 + w^2) \\ \end{array} \right.$$

Nous trouvons alors que pour chaque valeur de $\epsilon$, deux racines sont possibles car ${\cal A} \neq0$ si les nouveaux termes ne s'annulent pas. Cela signifie qu'outre la courbe de stabilité d'Eckhaus « classique » tangente localement à la courbe de stabilité marginale, il existe une seconde courbe qui peut refermer le ballon pour des valeurs finies de $\epsilon$.

Les figures  et  présentent les courbes obtenues sur des cas réalistes : les coefficients sont ceux mesurés lors des expériences (cf annexe ). Nous proposons néanmoins des valeurs différentes des coefficients du terme 1 (non déterminés expérimentalement) afin d'illustrer la grande richesse de l'équation.

L'information donnée dans la limite $\kappa \rightarrow 0$ par l'expression analytique de $D_\parallel$ nous donne la limite de l'instabilité d'Eckhaus que nous définissons comme l'instabilité modulationnelle à très grande longueur d'onde. Nous avons complété cette information en recherchant numériquement la limite d'instabilité modulationnelle à nombre d'onde $\kappa$ quelconque. Nous avons ainsi vérifié que la limite d'Eckhaus représentée par la parabole tangente en $(q=0,\epsilon=0)$ à la courbe de stabilité marginale était la seule limite possible. Cela signifie entre autres qu'une diminution de $\epsilon$ conduit toujours à l'instabilité d'Eckhaus, i.e. à grande longueur d'onde.

Au contraire, nous avons constaté que la courbe d'Eckhaus « du dessus » (à valeur finie de $\epsilon$ pour $q=0$) n'est pas toujours la plus dangereuse et qu'une instabilité à petite longueur d'onde peut survenir par augmentation de $\epsilon$. Cette instabilité est peut-être liée au choix du terme 3 ( $\vert A\vert^2 A_{xx}$) qui est instable vis-à-vis des gradients de phase.