B.3.0.2 Limite convectif/absolu

Seule la limite de stabilité convective d'Eckhaus est donnée par le calcul précédent. Dans le cas d'une cellule de taille finie, la limite absolue est la plus intéressante, mais les calculs sont beaucoup plus délicats. En effet, il n'est plus possible de prendre seulement la limite $\kappa \rightarrow 0$, car la partie imaginaire du nombre d'onde intervient aussi ; le calcul doit être effectué dans le plan complexe.

Nous avons rédigé un programme permettant, en cherchant le point selle de la surface du taux de croissance temporel dans le plan complexe, d'approcher la limite convectif/absolu de l'instabilité modulationnelle. Nous ne nous restreignons alors pas à la limite des perturbations de grande longueur d'onde. Les courbes limites obtenues sont reproduites sur chaque figure à côté des courbes limites « convectives ». La figure  illustre les différentes régions obtenues dans le cas d'une équation de Ginzburg-Landau non modifiée.

Figure: Courbes de stabilité marginale et de stabilité d'Eckhaus pour l'équation de Ginzburg-Landau habituelle avec {$c_1$=0, $c_2$=1}. Le graphe de gauche présente la parabole de stabilité marginale et la parabole d'Eckhaus (ES : états stables vis-à-vis d'Eckhaus, AI : états instables vis-à-vis d'Eckhaus). Le graphe de droite présente les différentes régions dans le cas d'une boîte non périodique. OCI et OAI représentent les régions où l'instabilité primaire en ondes est respectivement convective et absolue ; ces régions sont séparées par une droite horizontale d'équation $\epsilon=\epsilon_{\text a}=0,18$ (cf chapitre ). La vitesse de groupe adimensionnée est prise égale à $v_g \tau_0 \xi_0^{-1} = 0,85$, conformément aux mesures expérimentales. ES, ECI et EAI repèrent les zones stable, convectivement instable et absolument instable d'Eckhaus. La croix ($\times$) note l'absence de solution en dehors de la parabole de stabilité marginale.

Figure: Courbes de stabilité marginale et de stabilité d'Eckhaus pour {$c_1$=0, $c_2$=1, $\gamma$=-0.4, $c_3$=0, $\delta$=-0.6, $\delta c_4$=0.58, $\eta$=-1.7, $\eta c_5$=0.5}. La figure de gauche présente les limites d'Eckhaus convectif déduite de la formule  ( $\kappa \rightarrow 0$) (trait plein) ainsi que la limite vis-à-vis de perturbations de nombre d'onde $\kappa$ quelconque (trait pointillé). Les différentes régions sont notées ES, EI : stable, instable vis-à-vis des modulations de petit nombre d'onde. SWI : instable vis-à-vis des modulations de nombre d'onde non nul. La figure de droite présente en plus la limite convectif/absolu d'Eckhaus, qui donne dans le rectangle une zone d'observation des états homogènes plus étendue. La vitesse de groupe adimensionnée est pour ce dernier cas choisie égale à 0,85. La droite horizontale correspond à $\epsilon = \epsilon_{\text a}$, i.e. à le limite convectif/absolu pour l'instabilité primaire en ondes. ECI, EAI : Eckhaus convectivement et absolument instable. Noter que la courbe en pointillés limitant par le haut la région convectivement instable a été calculée vis-à-vis de perturbations de nombre d'onde $\kappa$ quelconque, non nécessairement petit.

Figure: Courbes de stabilité marginale et de stabilité d'Eckhaus pour {$c_1$=0, $c_2$=1, $\gamma$=+0.4, $c_3$=0, $\delta$=-0.6, $\delta c_4$=0.58, $\eta$=-1.7, $\eta c_5$=0.5La figure de gauche présente les limites d'Eckhaus convectif déduite de la formule  ( $\kappa \rightarrow 0$) (trait plein) ainsi que la limite vis-à-vis de perturbations de nombre d'onde $\kappa$ quelconque (courbe centrale). Les différentes régions sont notées ES, EI : stable, instable vis-à-vis des modulations de petit nombre d'onde. SWI : instable vis-à-vis des modulations de nombre d'onde non nul. La figure de droite présente en plus la limite convectif/absolu d'Eckhaus. La vitesse de groupe adimensionnée est pour ce dernier cas choisie égale à 0,85. La droite horizontale correspond à $\epsilon=\epsilon_{\text a}=0,18$, i.e. à la limite convectif/absolu pour l'instabilité primaire en ondes. ECI, EAI : Eckhaus convectivement et absolument instable. Noter qu'à la verticale de $q=0$ une fine bande d'instabilité d'Eckhaus convective existe ; sa largeur en terme de $\Delta T$ est de l'ordre de 0,1 K tout comme observé expérimentalement (§ ).