3. Transition convectif/absolu pour les instabilités oscillantes 1D

Transition convectif/absolu à 1D La stabilité d'un sytème physique est généralement étudiée grâce au signe d'un taux de croissance temporel (voir Chandrasekhar (1961)). Par exemple, la stabilité linéaire de la position d'équilibre d'un pendule est donnée par le signe du taux de croissance temporel d'une petite perturbation solution de l'équation d'évolution linéarisée autour du point d'équilibre en question. Nous avons utilisé cette approche en procédant à l'analyse de stabilité linéaire de l'écoulement de base thermocapillaire dans le chapitre , § . Mais la notion de taux de croissance temporel dépend directement du référentiel spatio-temporel utilisé pour formaliser le problème. Une fois ce constat établi, la notion de stabilité peut être affinée. L'instabilité est ainsi qualifiée de convective si le taux de croissance temporel est positif aux temps longs dans un référentiel particulier mais pas dans celui du laboratoire. De façon complémentaire, elle est qualifiée d'absolue si le taux de croissance est positif dans le référentiel du laboratoire. La figure  illustre les différents cas qui se présentent à l'ordre linéaire. Nous voyons donc apparaître l'importance du référentiel particulier dit « du laboratoire », dans lequel l'instabilité a la possibilité d'être convective, c'est à dire en quelque sorte, fugitive.

Lors d'expériences, y compris d'expériences de pensée, un tel référentiel se dégage en effet toujours : dans le cas d'un sillage par exemple, l'obstacle est fixe dans ce référentiel, mais l'écoulement advecte l'instabilité et l'on pressent l'intérêt d'un second référentiel, mobile par rapport à celui du laboratoire. Dans le cas de la convection de Rayleigh-Bénard, nous avons une cellule finie dont les bords sont fixes dans le référentiel du laboratoire ; si la structure qui apparaît est stationnaire, aucun autre référentiel ne peut-être mis en avant, et l'instabilité n'est jamais convective. Au contraire, une instabilité oscillante en ondes propagatives est convective au voisinage de son seuil. Une description rigoureuse des instabilités linéaires convectives/absolues a été produite par Huerre et Monkewitz (1990) à l'aide de fonctions de Green décrivant l'évolution spatio-temporelle d'une perturbation localisée en temps et en espace (paquet d'onde) en fonction de la vitesse relative du référentiel d'étude par rapport au référentiel du laboratoire. L'aspect convectif ou absolu apparaît alors comme la dépendance ou non du taux de croissance effectif avec la vitesse relative du référentiel et cette distinction n'a un sens que dans les systèmes où l'invariance galliléenne est brisée.

Ce formalisme s'est révélé très riche pour la description des instabilités survenant dans des systèmes ouverts. En hydrodynamique notamment, la présence d'un écoulement moyen -- cas des sillages par exemple -- autorise l'instabilité à être convective pour les plus petites valeurs du paramètre de contrôle avant d'être absolue pour les plus grandes valeurs. Une variation spatiale du paramètre de contrôle peut de plus permettre à l'instabilité d'être absolue au voisinage immédiat de l'obstacle, puis convective en aval.

Figure: Représentations schématiques de l'évolution d'une perturbation d'un état stable, convectivement instable et absolument instable, dans le référentiel du laboratoire. La stabilité linéaire d'une perturbation infinitésimale est ici considérée. Des différences existent si les effets non-linéaires sont pris en compte (perturbation forte et saturée). Le domaine spatial considéré peut être indifféremment fini ou infini.

Dans le cas des systèmes fermés, i.e., sans advection moyenne, la distinction entre caractère absolu et convectif d'une instabilité en ondes propagatives se révèle tout aussi intéressante. En effet, si l'instabilité donne naissance à des ondes de vitesse de groupe finie au seuil, cette instabilité est toujours convective au seuil. Quelle que soit la vitesse de groupe, il lui est toujours possible d'advecter des perturbations dont le taux de croissance, variant comme $\epsilon$, est aussi petit que l'on veut pour peu que l'on soit suffisamment près du seuil. Ce caractère convectif a, comme nous le verrons, de profondes conséquences sur les possibilités d'observation de la structure.

L'étude présentée ici est celle d'un système fermé, sans flux de matière imposé par l'extérieur. Parmi les sytèmes équivalents produisant des ondes propagatives, nous pouvons citer l'écoulement de Taylor-Dean (Laure et Mutabazi (1994), Bot et al. (1998)) où des ondes apparaissent par bifurcation primaire. De plus nombreux systèmes produisent des ondes propagatives par bifurcation secondaire ; citons l'instabilité secondaire oscillatoire en convection de rayleigh-Bénard, ainsi que l'écoulement de Taylor-Couette lorsqu'apparaissent des rouleaux propagatifs (wavy vortex flow) par déstabilisation des rouleaux de Taylor. Dans ce dernier cas, Tagg et al. (1990) ont d'ailleurs distingué la nature convective au seuil de l'instabilité.

Nous nous limitons au cas unidimensionel des cellules « rectangle » et « anneau » et nous étudions donc la propagation des ondes dans la direction perpendiculaire à l'écoulement de base, i.e., la direction suivant laquelle il n'existe à priori aucun type d'advection (cf principe de Curie, § ). Cette constatation nous permet d'utiliser le formalisme d'une équation d'amplitude de Ginzburg-Landau complexe.