3.1.2 Cas de l'expérience anneau

La hauteur de fluide est dans toute cette section égale à $1,7 \pm 0,1$ mm. La bifurcation vers le régime d'ondes est supercritique, comme on peut le voir sur la figure , et la structure qui apparaît possède au seuil 54 ou 55 longueurs d'ondes. Nous en déduisons que le nombre d'onde critique $Lk_0/2\pi$ est compris entre ces deux entiers ; sa valeur en unités usuelles est de 0,68 mm$^{-1}$ Le seuil des ondes hydrothermales est alors mesuré avec une bonne précision grâce aux mesures de l'amplitude des modes 54 et 55 :

$$\Delta T_{\text c} = 3,1 \pm 0,1 \text{K}$$

Figure: Evolution de l'amplitude $A$ (en bas, au carré) et de la fréquence $f$ (en haut) au voisinage du seuil dans l'anneau pour $h$=1,7 mm. Ces mesures correspondent à une amplitude strictement homogène dans toute la cellule. Les symboles $\circ$ et $\Box$ représentent respectivement les modes 54 et 55 car $54 < L k_0 / 2 \pi < 55$. L'ajustement linéaire de $A^2$ est effectué sur l'ensemble des deux jeux de valeurs.

Cela correspond à un nombre de Marangoni de l'ordre de $\mathit M\!{\mathrm a}\xspace \simeq 2500$. Cette valeur du seuil nous permet de définir $\epsilon = (\Delta T - \Delta T_{\text c}) / \Delta T_{\text c}$ pour la cellule annulaire, mais aussi pour la cellule rectangulaire lorsque celle-ci contient une couche de fluide de même rapport d'aspect $\Gamma_\parallel$ selon $\nabla T$, et de même hauteur $h$. Ce point est discuté plus loin (§ ).

Pour $\epsilon > 0$, i.e., $\Delta T > \Delta T_{\text c}$, et à proximité du seuil, une onde unique d'amplitude stationnaire et homogène dans la cellule est présente ; la fréquence est finie au seuil (figure ). L'onde minoritaire n'est pas observée. Cette configuration nécessite éventuellement un régime transitoire -- de l'ordre de l'heure -- pour s'établir, mais représente le seul état le plus stable du système. Bien sûr, l'onde observée est indifféremment une onde droite ou gauche et la symétrie brisée est restaurée en moyenne sur l'ensemble des réalisations. Nous pouvons déduire de ce comportement que le couplage non-linéaire entre les deux ondes contra-propagatives est dans notre cas destructif ; en termes d'équations d'amplitude couplées (cf. § ), le coefficient $\lambda$ doit ainsi être supérieur à l'unité. Des expériences appropriées (cf. Annexe ) nous donnent la valeur $\lambda \simeq 1,4$.

Le nombre d'onde moyen est évidemment discret, mais le nombre d'onde local est uniforme dans la cellule (du moins tant que $\epsilon<0,5$ et que les instabilités secondaires n'entrent pas en jeu). Comme nous l'avons dit, sa valeur au seuil hésite suivant les réalisations entre 54 et 55 ; des états homogènes avec d'autres valeurs de $k$ sont aussi possibles, et sont obtenus soit par perturbations, soit par augmentation de $\epsilon$ en rencontrant l'instabilité d'Eckhaus (cf. annexe ).

Figure: Evolution de la vitesse de groupe dans l'anneau pour $h$=1,7 mm. Les symboles $\circ$ et $\Box$ représentent respectivement les modes 54 et 55.

La figure  illustre le comportement de la vitesse de groupe pour les modes 54 et 55 en fonction de $\Delta T$ ; cette dernière est mesurée comme la vitesse des perturbations linéaires. Nous notons ainsi que la vitesse de groupe est finie au seuil et augmente légèrement lorsque l'on s'en éloigne. C'est la valeur au seuil qui apparaît dans l'équation d'amplitude ; nous avons ainsi $v_{\text g} = 0.875$ mm/s.