3.2.1 Cas de l'équation de Ginzburg-Landau complexe

Les calculs de stabilité linéaire d'une solution de Stokes non nulle vis-à-vis de perturbations d'amplitude et de phase ont été réalisés par Fauve (1987), Matkowsky et Volpert (1993) pour l'instabilité convective en géométrie infinie. Tuckerman et Barkley (1990) ont étudié l'effet de la discrétisation dans le cas des conditions aux limites périodiques; ils ont ainsi mis en évidence un décalage de la région de stabilité (parabole d'Eckhaus, définie en annexe ) vers les plus petites valeurs du paramètre de contrôle. Ce décalage -- de $(-\frac{1}{2}\xi_0\pi/L)$ pour l'équation de Ginzburg-Landau réelle -- permet au nombre d'onde discret le plus critique d'être stable vis-à-vis des modulations d'Eckhaus lorsqu'il apparaît. La prise en compte de la transition entre instabilité convective et absolue est plus ardue. Huerre (1988) a abordé la question analytiquement dans le cas de IRGL. Dans le cas de ${\mathbb{C}}$GL, Deissler (1987) a abordé qualitativement le problème avec une étude numérique, en observant le régime convectivement instable d'Eckhaus grâce à une source de bruit placée à la paroi amont du domaine. Müller et Tveitereid (1995) ont numériquement isolé les différents domaines de stabilité dans le plan $(\epsilon,q)$ et Couairon et Chomaz (1999) étudié les modes globaux correspondants ; une présentation complète de ces résultats peut être trouvée dans l'article de Chomaz et al. (1999).

Nous ne reproduisons ici que des résultats expérimentaux. Le cas de l'anneau est brièvement rappellé et commenté. Le cas du rectangle est décrit en détail ; sa configuration est la même que dans l'étude du premier seuil : $L_x=10$ mm et $L_y=180$ mm.