3.1.1.1.5 Conditions limites finies - ordre linéaire

Dans le cas d'un domaine de longueur $L$ sans périodicité, nous devons spécifier des conditions aux limites $y=0$ et $y=L$. Nous pouvons par exemple prendre des conditions aux limites de type Dirichlet^3.1 (proches des faits expérimentaux) :

$$A(y) = 0$$   en$$\quad y=0$$   et$$\quad y=L$$

Nous résolvons le problème en recherchant une solution du type onde plane, mais avec un nombre d'onde complexe. Nous autorisons ainsi l'existence d'un taux de croissance spatial, inutile et inconvenant dans les cas infinis et périodiques ; nous reprenons ainsi les calculs de Tobias et al. (1998) mais avec une équation dimensionnée. Nous trouvons que les solutions n'existent que pour certaines valeurs discrètes $\{\epsilon_n, n \in \hbox{I\hskip -2pt N}\}$ de $\epsilon$. La solution non nulle qui apparaît pour la plus faible valeur $\epsilon_1 \equiv \epsilon_{\text f}$ du paramètre de contrôle s'écrit :

$$A(y,t) = A_0 f(y) ^{\text{i} \omega_{\text f} t} \quad \text{avec} \quad f(y) = \text{e}^{\xi_{\text a} (1-\text{i}c_1) y} \sin\left(\frac{\pi y}{L}\right)$$ (3.4)

où :

$$\epsilon_{\text f} = \epsilon_{\text a} +\frac{\xi_0^2 \pi^2}{L^2} , \qquad \quad \epsilon_{\text a} = \displaystyle \frac{\tau_0^2 v_g^2}{4\xi_0^2(1+c_1^2)}$$

$$\omega_{\text f} = \omega_{\text a} + \frac{(c_0-c_1)}{\tau_0} \frac{\xi_0^2 \pi^2}{L^2} , \qquad \quad \omega_{\text a} = \displaystyle \frac{(c_0+c_1)}{\tau_0} \epsilon_{\text a}$$

$$\xi_{\text a} = \displaystyle \frac{\tau_0 v_{\text g}}{2 \xi_0^2 (1+c_1^2)}$$

Le terme $\epsilon_{\text a}$ est d'ordre 1 car la vitesse de groupe est d'ordre 1. Il traduit le décalage du seuil dû au caractère convectif de l'instabilité au seuil et à l'attente de la transition convectif/absolu. Par contre, la différence $\epsilon_{\text f} - \epsilon_{\text a}$ est d'ordre $1/L^2$ et elle ne signale que les effets de discrétisations, très réduits dans le cas des grandes boîtes.

Dans les cas qui nous intéressent (anneau et rectangle), la taille du système $L$ est très grande^3.2 devant $\xi_0$ et l'on peut donc négliger les effets de discrétisation. Nous confondons ainsi dans la suite $\epsilon_{\text f}$ avec $\epsilon_{\text a}$ ainsi que $\omega_{\text f}$ avec $\omega_{\text a}$.

Aucune solution non nulle, i.e. aucune onde, n'existe tant que $\epsilon$ n'a pas atteint la valeur $\epsilon_{\text f} \simeq \epsilon_{\text a}$, finie, indépendante de $L$. En ce sens, la solution trouvée pour cette valeur de $\epsilon$ constitue un mode global, comme défini par Huerre et Monkewitz (1990). Il est remarquable que nous trouvions le seuil d'existence des ondes à la valeur $\epsilon_{\text a}$ qui correspond à la transition convectif/absolu des ondes sans invoquer l'analyse particulière (Deissler (1985) par exemple) que requiert l'étude de cette transition.

Ce mode global qui existe pour $\epsilon_{\text f} \simeq \epsilon_{\text a}$ possède une enveloppe spatiale particulière, produit d'un sinus par une exponentielle. Le sinus permet de répondre aux conditions aux limites imposées alors que l'exponentielle traduit l'advection par la vitesse de groupe. Lorsque $v_{\text g}=0$, le taux de croissance spatial $\xi_{\text a}$ s'annule et l'exponentielle disparaît ; la distinction convectif/absolu n'existe plus. Du coup, le décalage de fréquence $\omega_{\text a}$ et le décalage de nombre d'onde $-$i$c_1\xi_{\text a}$ s'annulent aussi.