3.3 Instabilités d'ordre supérieur

A priori, si la vitesse de groupe $v_g$ ne s'annule pas, les instabilités d'ordre supérieur pouvant intervenir sont convectives au voisinage de leur seuil. Deissler a ainsi observé numériquement une turbulence faible advectée dans l'équation de ${\mathbb{C}}$GL avec vitesse de groupe ; et les sillages regorgent d'exemple de ce type.

Dans le cas de l'anneau, les conditions aux limites périodiques empêchent à priori cette phénoménologie. Néanmoins, nous pouvons imaginer que dans le cas où existent des couples {puits, source}, les régions d'onde droite et les régions d'onde gauche soient suffisamment séparées pour se comporter comme des « petites boîtes finies », au moins sur des temps $\tau$ courts, i.e., petits devant les temps caractéristiques de déplacement des sources et des puits. Un tel régime suppose bien sûr que ces objets ne se déplacent quasiment pas sur une période de l'onde de base, ce qui est plutôt un cas assez rare parmi tous les régimes à fort $\epsilon$ observés dans l'anneau. En résumé, des effets attachés à la transition convectif/absolu sont donc envisageables dans l'anneau lorsque des couples {puits, source} existent ; nous pouvons ainsi imaginer que l'expérience de Lega et al. (1992) -- où des dislocations sont observées -- est dans ce cas. Coullet et al. (1993) ont par ailleurs montré que la stabilité des sources est directement liée au caractère convectif ou absolu de la stabilité des solutions ondes planes que ces objets permettent de « raccorder ».

Dans le rectangle, le mode 17 devient à son tour instable d'Eckhaus pour $\Delta T = 8,2$ K ( $\epsilon \simeq 1,65$). A priori, nous pouvons attendre la même phénoménologie que celle observée pour l'instabilité d'Eckhaus du mode 21. Celui-ci n'est d'ailleurs plus observé et la source émet directement le mode 17 modulé. La figure  illustre, dans le cas où le mode 17 est absolument instable, le régime transitoire menant au régime stationnaire après une augmentation de $\Delta T$. Nous y voyons ainsi la naissance des modulations, puis leur éclatement en un front de dislocations. Ce front naît sur le bord aval (à droite) à la date $t\simeq 700$ s et se déplace ensuite à contre-courant jusqu`à atteindre sa position d'équilibre en $y/L \simeq 0,4$. Cette dynamique est exactement la même que celle des transitoires observés à l'établissement du régime d'instabilité d'Eckhaus absolue du mode 21. Néanmoins, le diagramme de la figure  présente en plus un autre phénomène. En aval du premier front, des modulations existent qui sont à leur tour amplifiées jusqu'à conduire à de nouvelles dislocations à partir de $t \simeq 1000$ s. Ces dislocations forment un second front qui se propage à son tour à rebrousse-poil. Un fait remarquable est que ces dislocations se produisent très régulièrement avec une période qui est exactement le double de la période des dislocations du premier front. Non content de cela, le système nous offre alors suivant le même principe l'apparition en aval d'une nouvelle fréquence de modulations, suivies d'un nouveau front de dislocations, de période encore doublée (soit 4 fois la période initiale). En fin de fichier -- malheureusement trop court -- un nouveau doublement de période survient (dislocations à 8 fois la période initiale).

Figure: Diagramme spatio-temporel pour $\Delta T$=8,5 K, illustrant une cascade temporelle de doublement de période dans un régime transitoire menant à un état où le second mode (17) est à son tour instable d'Eckhaus (absolument).