3.1.1 Cas de l'équation de Ginzburg-Landau complexe

L'équation d'amplitude que nous utilisons a été introduite en §  dans le cas de deux ondes contra-propagatives. Ici, pour des raisons de simplicité, nous ne nous intéressons qu'au cas d'une onde unique, que nous supposons être (par exemple) une onde droite dont l'amplitude $A$ vérifie :

$$\tau_0 \left( \displaystyle \frac{\partial A}{\partial t} + v_{... ...A + \xi_0^2 (1+\text{i}c_1) \partial_{yy}A + g (1+\text{i}c_2) \vert A\vert^2$$ (3.1)

Deissler (1985) a le premier étudié l'effet de la vitesse de groupe $v_g$ vue comme une vitesse d'advection dans le cas d'un écoulement sans advection extérieure imposée. C'est tout naturellement qu'il a utilisé une équation modèle du type ${\mathbb{C}}$GL avec le terme $v_g \partial A / \partial y$. L'origine de ce terme n'importe pas ; son interprétation étant -- de façon équivalente -- soit la présence d'une advection moyenne forcée par l'extérieur (écoulement moyen, exemple : un sillage avec une vitesse $v_g$), soit l'existence d'une vitesse de groupe (dans le cas d'une instabilité en ondes propagatives). Nous nous restreignons dans toute la suite au cas où $v_g\in$ IR ; le cas complémentaire $v_g\in$   iIR a été étudié par Rovinsky et al. (1996) comme résultant d'un écoulement différentiel.

L'existence de $c_1$ et $c_2$ complique un peu la dynamique par rapport au cas d'une instabilité stationnaire décrite par une équation de Ginzburg-Landau réelle (IRGL). Les calculs pour le premier seuil sont cependant encore très simples ; nous les reproduisons ici dans un contexte un peu différent de celui des articles originaux de Deissler (1987), Deissler (1989), Deissler (1985), en insistant comme Tobias et al. (1998) sur l'effet de la géométrie finie.

Comme nous l'avons déjà suggéré, la distinction entre instabilité convective et absolue a un sens dans le cas d'une boîte finie, mais pas en géométrie périodique. La spécification des conditions aux limites est un point crucial de l'analyse du problème.