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3.1.4.1 Formalisme convectif/absolu pour l'apparition du mode global dans la cellule rectangulaire

Comme nous l'avons vu en § [*] sur le cas modèle de l'équation $ {\mathbb{C}}$GL, l'attente de la transition convectif/absolu joue le rôle de retardateur de l'instabilité dans le cas de la géométrie finie aux conditions limites non périodiques. Le décalage $ \epsilon_{\text{exp}}$ du seuil expérimental dans le rectangle peut ainsi être expliqué de façon naturelle. La figure [*] représente ainsi l'évolution de l'amplitude maximale obtenue par des simulations numériques directes3.4 de l'équation de $ {\mathbb{C}}$GL dans les deux cas d'une géométrie périodique et d'une géométrie de boîte finie.

Figure: Amplitude maximale $ A_{\text{max}}$ obtenue après une expérience numérique (intégration de l'équation de Ginzburg-Landau adimensionnée pour $ c_1=0$, $ c_2=1$ et $ \tau_0 v_g \xi_0^{-1}=0.875$) dans une boîte de taille $ L=37.5$. Le cas de conditions aux limites périodiques est repéré par l'indice $ \Pi$ et le cas de conditions de Dirichlet (boîte finie) par l'indice $ [0,L]$. Dans le cas périodique, l'amplitude est homogène dans la cellule et l'on a exactement $ \ensuremath{\left\langle A\right\rangle}=A_{\text{max}}=\epsilon^{1/2}$. Dans le cas de la boîte finie, le seuil est décalé à la valeur $ \epsilon_a \simeq 0.16$ prédite par la formule ([*]) pour les valeurs choisies des coefficients.
\includegraphics[width=8cm]{a-eps}


Le mode global ([*]) qui apparaît alors possède une enveloppe spatiale bien particulière dont nous observons toutes les caractéristiques qualitatives : annulation (au niveau de bruit près) de l'amplitude aux bords3.5, asymétrie amont/aval due à la propagation des ondes, croissance exponentielle de l'amplitude et valeur maximale réalisée par conséquent en aval.


Le comportement critique (puissance 1/2) de l'amplitude maximale -- mesurée sur le mode de bord -- est donc le comportement critique du mode global ([*]) qui apparaît comme on l'a vu en § [*] de façon supercritique.


Nous pouvons alors utiliser les différentes relations définies par l'équation ([*]) (page [*]) pour obtenir des relations entre différents coefficients des termes linéaires de l'équation d'amplitude modélisant notre système expérimental.

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Nicolas Garnier - Thèse de doctorat