1.3.2.1 Equations

Après avoir injecté les expressions ci-dessus dans les équations (), nous tronquons ces dernières à l'ordre linéaire en les perturbations ; cela nous permet de prendre la transformée de Fourier :

$$\left(\Tilde{u}, \Tilde{v}, \Tilde{w}, \Tilde{T}, \Tilde{p}\right... ...Tilde{u}, \Tilde{v}, \Tilde{w}, \Tilde{T}, \Tilde{p}\right)^{\text{\sc T}}(z)$$

Seule subsiste alors une dépendance en $z$ ; nous notons $D \equiv \mathrm d / \mathrm dz$. Nous posons $\beta=n\Gamma_X$ et définissons (pour des raisons de simplicité d'écriture) les nouvelles variables suivantes :

$$\left\{ \begin{array}{l@{}ll@{}l} Y_1 & = \tilde{u} \qquad ... ...& Y_8 & = (Gr/\epsilon) D \Tilde{T} \\ \end{array} \right.$$

et :

$$\left\{ \begin{array}{l@{}l} \smallskip {\cal M}_u & = {\... ...\alpha\Gamma_X - \alpha^2 - \beta^2)\\ \end{array} \right.$$

Il vient ainsi le système suivant pour l'évolution des perturbations :

$$\left\{ \begin{array}{l@{}l} D Y_1 &= Y_5 \\ D Y_2 &= Y_6 \\... ...\mathit P{\mathrm r}\xspace G_X^2 {\tau_0}' Y_3 \right)\\ \end{array}\right.$$ (1.9)

A ces équations nous devons ajouter les conditions aux limites adéquates pour les perturbations, qui sous leur forme adimensionnée s'écrivent :

$$\begin{array}{cc} \left\{ \begin{array}{l@{}l} Y_1 &=0 \... ...e Y_4 \\ \end{array}\right\vert _{z=1} \\ \end{array}$$