1.3.2.2 Méthode de résolution

Nous résolvons alors le problème en utilisant la méthode exposée par Mercier (1997) et que nous résumons ci-dessous.

Nous nous plaçons à la limite de la stabilité marginale ( $\Im(\omega)=0$) et recherchons une solution $\vec{Y}=(Y_1, ..., Y_8)^{\text{\sc T}}$ du système précédent sous la forme d'une combinaison linéaire de quatre solutions linéairement indépendantes, que nous notons $\{\vec{Y^{(i)}}\}_{i=1,...,4}$ :

$$\vec{Y}(z) = \sum_{i=1}^{4} \lambda_i \vec{Y_i}(z)$$

Chacune des quatre fonctions $\vec{Y_i}(z)$ est obtenue en intégrant le système () du premier ordre en $z$, avec les conditions « initiales » suivantes en $z=0$ :

$$\begin{array}{cc} \text{pour}~\vec{Y}^{(1)}~: &\vec{Y}^{(1... ...{(4)}(z=0)=(0,0,0,0,0,0,0,1)^{\text{\sc T}} \\ \end{array}$$

En satisfaisant ensuite les conditions limites en $z=1$ pour la combinaison $\vec{Y}(z)$, l'on obtient un système algébrique 4$\times$4 qui n'a de solution que si son déterminant s'annule. Cela conduit à l'équation caractéristique suivante :

$${\cal F}_{\{W,\mathit B{\mathrm i}\xspace ,\mathit P{\mathrm r}\xspace ,\Gamma_X\}}(\mathit G{\mathrm r}\xspace ,\alpha,\beta,\omega) =0$$ (1.10)

Comme nous l'avons noté, $W$, $\mathit B{\mathrm i}\xspace$, $\mathit P{\mathrm r}\xspace$ et $\Gamma_X$ sont des paramètres. Pour des raisons d'ordre pratique, nous traiterons les deux composantes $\alpha$ et $\beta$ du vecteur d'onde comme des paramètres. Il ne reste alors qu'à chercher le couple de valeurs de $\mathit G{\mathrm r}\xspace$ et $\omega$ qui annule simultanément les parties réelle et imaginaire de l'équation caractéristique. Si l'on recherche une instabilité stationnaire, la partie imaginaire de l'équation est automatiquement annulée en fixant $\omega=0$.

La mise en pratique de la méthode ci-dessus a été effectuée en adaptant un code de Jean-François Mercier et Christiane Normand.