2.3.2.1 Equation « maîtresse »

Le chemin ${\cal C}$ suivi par un rayon lumineux minimise le chemin optique ${\cal I}$ (principe de Fermat) :

$${\cal I} = \int_{\cal C} n(\vec{r}) ds \qquad \delta {\cal I} = 0$$

Ce qui peut être réécrit sous la forme locale suivante :

$$\frac{\partial n \vec{u}}{\partial s} = \vec{\nabla} n$$

$s$ est l'abscisse curviligne et $\vec{u}$ le vecteur unitaire tangent au rayon lumineux. Plaçons nous dans un plan $(x,z)$ où $x$ représente la direction horizontale dans laquelle les ondes se développent et $z$ est orienté dans le sens des rayons parallèles incidents (de bas en haut en pratique), et choisissons $z=0$ au niveau du premier contact des rayons et du fluide (à la surface libre). Nous avons alors deux équations scalaires entre lesquelles nous pouvons éliminer l'abscisse curviligne $s$ en nous plaçant dans la limite des faibles déflections $(\partial z/ \partial s \rightarrow 1)$, ce qui donne :

$$n x'' + \frac{\partial n}{\partial z} x' - \frac{\partial n}{\partial x} = 0$$ (2.1)

où les primes dénotent la dérivation par rapport à $z$ de la trajectoire $x(z)$. Si l'on note $i$ l'angle local du rayon par rapport à la verticale, alors la limite des faibles déflections que nous avons déjà invoquée s'écrit : $i \ll 1$, i.e. :

$$i \simeq \sin(i) \simeq tan(i) = \frac{\mathrm dx}{\mathrm dz} = x'$$

L'équation « maîtresse » () est du second ordre. Les deux constantes d'intégration peuvent être fixées simplement en imposant la position et l'angle d'impact d'un rayon lumineux sur la surface libre en $z=0$. Nous choisirons ainsi dans toute la suite $x'=0$ (incidence purement verticale) et $x=x_0$ (abscisse du point d'impact fixée).