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1.1.2.0.4 Autres nombres sans dimension

Il est possible de combiner les nombres précédemment obtenus pour en former d'autres, parfois plus simples à manipuler, mais qui, bien sûr, n'apportent pas de degrés de liberté supplémentaires :


Nombre de Grashoff : $ \mathit G{\mathrm r}\xspace $  = $ \mathit R{\mathrm a}\xspace / \mathit P{\mathrm r}\xspace $  = $ \displaystyle \frac{\alpha g h^4}{\nu^2}\frac{\Delta T}{l}$
         
Nombre de Bond dynamique : $ \mathit B{\mathrm d}\xspace $  = $ \mathit R{\mathrm a}\xspace / \mathit M\!{\mathrm a}\xspace $  = $ \displaystyle \frac{\rho \alpha g h^2}{\gamma} = 4 \frac{\mathrm dh(\text{gravitaire)}}{\mathrm dh(\text{capillaire)}} = \left(\frac{h}{h_e}\right)^2$
         
ou son inverse : $ W$  = $ \mathit M\!{\mathrm a}\xspace / \mathit R{\mathrm a}\xspace $  = $ \mathit B{\mathrm d}\xspace ^{-1}$
         
Nombre de Reynolds gravitaire : $ \mathit R{\mathrm e}\xspace _g$  = $ \mathit R{\mathrm a}\xspace / \mathit P{\mathrm r}\xspace $  = $ \mathit G{\mathrm r}\xspace $
         
Nombre de Reynolds capillaire : $ \mathit R{\mathrm e}\xspace _c$  = $ \mathit M\!{\mathrm a}\xspace / \mathit P{\mathrm r}\xspace $  = $ \displaystyle \frac{\gamma h^2}{\rho \nu^2}\frac{\Delta T}{l}$


Application numérique : Par définition, nous avons $ W>1$ si $ h<h_{\text e}$. Pour l'huile utilisée (cf § [*]), nous avons $ W \simeq 2,4$ pour $ h=1,9$ mm, $ W \simeq 3,0$ pour $ h=1,7$ mm et $ W \simeq 6,0$ pour $ h=1,2$ mm. Ainsi, dans tous les cas envisagés ici, les effets thermogravitaires sont négligeables devant les effets thermocapillaires, du moins pour l'écoulement de base.


Remarque : Les nombres de Reynolds gravitaire et capillaire peuvent être directement obtenus comme des nombres de Reynolds $ UL/\nu$ en considérant comme vitesse $ U$ la vitesse caractéristique d'un écoulement gravitaire ou capillaire. Par exemple, dans le cas thermocapillaire, la vitesse caractéristique (d'une particule fluide de la surface libre) peut être écrite en équilibrant la force de dissipation visqueuse agissant sur un volume $ h^3$ ( $ \eta U h^3/h^2$) à la force due à la variation de la tension de surface et s'appliquant sur une surface $ h^2$ ( $ h^2 \gamma \partial T / \partial x$) :

$\displaystyle U_{\text{capillaire}} = \frac{\gamma (\displaystyle \frac{\partial T}{\partial x}) h}{\eta} = \frac{h}{L_x}\frac{\gamma \Delta T}{\eta}$ (1.4)

$\displaystyle \left( \Rightarrow \mathit R{\mathrm e}\xspace _{\text c} = \displaystyle \frac{U_{\text{capillaire}} h}{\nu} \right) $


Application numérique : Dans la cellule rectangulaire 1D ($ h=1.7$ mm, $ L_x=10$ mm), pour $ \Delta T=3$ K il vient $ U_{\text{capillaire}}$ = 90 mm/s. Dans la cellule disque 2D ($ h=1.7$ mm, $ L_x=63,5$ mm), pour $ \Delta T=10$ K, il vient $ U_{\text{capillaire}}$ = 48 mm/s. Nous pouvons en déduire l'ordre de grandeur du temps nécessaire au fluide pour parcourir exactement un rouleau complet de l'écoulement de base, i.e. une « période » : 0,3 s pour le rectangle et 2,7 s pour le disque. Ces valeurs sont surestimées car la vitesse du fluide n'est qu'au plus égale à sa vitesse en surface.

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Nicolas Garnier - Thèse de doctorat