5.3.2 OH2

Les ondes hydrothermales de type 2 apparaissent -- tout comme les OH1 -- via une bifurcation de Hopf supercritique. L'évolution continue de l'amplitude au seuil est ainsi visible sur la figure  et l'évolution de la fréquence sur la figure .

Figure: Evolution de l'amplitude des OH2 pour $h=1,2$ mm et $\Delta T > 0$. L'amplitude est mesurée le long de rayons et sa valeur moyennée dans l'espace $\ensuremath{\left\langle A\right\rangle}$ est présentée ; il s'agit donc d'une information globale.

Figure: Evolution de l'amplitude au carré des OH2 pour $h=1,2$ mm et $\Delta T > 0$. L'amplitude est mesurée le long d'un cercle et sa valeur moyenne est présentée, pour des cercles de rayons $r=11,7$ mm ($\lozenge$), $r=16,4$ mm ($+$), et $r=25,7$ mm ($\circ$). L'amplitude des ondes OH1, mesurée sur un cercle de rayon $r=49,1$ mm est aussi reportée à titre indicatif. Les courbes continues représentent des ajustements et guident l'il.

Figure: Evolution de la fréquence des OH2 pour $h=1,2$ mm et $\Delta T > 0$.

La distribution spatiale de ces ondes est -- comme présenté dans la section précédente -- bien particulière au seuil et son évolution avec $\Delta T$ est originale. L'information spatiale est de deux types : distribution du vecteur d'onde et position de la structure dans la cellule. Sur la figure  sont visibles les évolutions avec le paramètre de contrôle des deux composantes $k_r$ et $k_\theta$ du vecteur d'onde. Alors que la composante $k_r$ est finie au seuil et évolue peu avec $\Delta T$, la composante azimuthale $k_\theta$ est nulle au seuil -- les ondes sont alors des cibles pulsantes -- et augmente régulièrement avec $\Delta T$ -- les ondes sont alors des spirales de plus en plus « ouvertes ».

L'évolution de $k_\theta$ avec le paramètre de contrôle est très bien ajustée par une loi linéaire. L'extrapolation de cette loi linéaire au point $k_\theta=0$ nous redonne approximativement la valeur du seuil, bien que la mesure soit moins précise que celle de l'amplitude. Nous avons ainsi la possibilité de définir un second paramètre d'ordre variant continûment au seuil et avec l'exposant $+1$ dans la région supercritique. Nous n'avons pas d'interprétation précise de ce nouveau paramètre d'ordre ; toute explication ne doit pas négliger la bidimensionnalité non seulement des OH2, mais aussi de la géométrie de la cellule.

Figure: Evolution du vecteur d'onde des OH2 pour $h=1,2$ mm et $\Delta T > 0$. A gauche : $k_r$ ; à droite : $k_\theta$.

La structure des OH2 est localisée près du plot central. La figure  présente une succession de profils radiaux d'amplitude : nous y voyons l'instabilité s'étendre lorsque $\Delta T$ est augmenté. Nous avons quantifié l'envahissement progressif de la cellule par les OH2. Comme dans le cas des rouleaux corotatifs de l'écoulement de base, nous avons mesuré la position du front des OH2 dans la cellule en définissant cette position comme le rayon du point dont l'amplitude est la moitié de l'amplitude maximale. Cette grandeur est reportée sur la figure . Nous observons un comportement régulier, linéaire en $\Delta T$ de la position du front des OH2 dans la cellule.

Figure: Empilement de profils radiaux d'amplitude locale pour $h=1,2$ mm et différents $\Delta T > 0$ : 8, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 18 et 20 K. Pour des raisons de clarté, les profils ont été décalés dans la direction verticale d'un facteur proportionnel à $\Delta T$. Sur le dernier profil ( $\Delta T = 20$ K), les OH1 sont présentes et l'amplitude est finie partout dans la cellule.

Figure: Evolution de la position du front des OH2 pour $h=1,2$ mm et $\Delta T > 0$.

Un élargissement du pic correspondant aux OH2 dans les spectres est observé lorsque la différence de température est augmentée (figure ). Nous mesurons alors la largeur du pic à mi-hauteur et la reportons sur la figure . Cette grandeur est une mesure de l'élargissement de la bande de modes instables. De plus, si la hauteur du pic principal est fixée -- ce qui semble à peu près le cas --, sa largeur est proportionnelle à l'aire sous le pic, qui mesure l'énergie contenue dans l'ensemble des modes instables. Le théorème de Parseval relie alors cette énergie à l'énergie moyenne mesurée dans l'espace direct, i.e., la moyenne spatiale du carré de l'amplitude de l'onde après filtrage. Nous observons le même comportement que sur la figure  qui représente le carré de l'amplitude moyenne. La largeur du pic principal correspondant aux OH2 se comporte comme un paramètre d'ordre avec la puissance 1/2.

Figure: Empilement de spectres réalisés pour $h=1,2$ mm et différents $\Delta T > 0$ : 8, 10, 12, 16 et 20 K. L'élargissement du pic correspondant aux OH2 est visible alors que sa hauteur par rapport au niveau de bruit est à peu près constante.

Figure: Evolution de la largeur du pic des OH2 dans le spectre temporel pour $h=1,2$ mm et $\Delta T > 0$ ; une moyenne est effectuée selon la direction radiale. Un comportement critique se dégage nettement.