C.1 Courbe de stabilité marginale dans l'anneau et relation de dispersion

Comme exposé en § , le nombre d'onde moyen dans l'anneau est évidement discret et sa valeur au seuil $Lk/2\pi$ hésite entre 54 et 55. Après perturbation de ces états et/ou réduction du paramètre de contrôle $\Delta T$ à partir d'états excités de nombre d'onde différents, il est possible d'obtenir des séries de valeurs de l'amplitude et de la fréquence en fonction de $\Delta T$ pour une valeur entière du nombre d'onde moyen bien déterminée. La figure  présente quelques une des courbes obtenues pour l'amplitude. A partir de chaque série, nous en déduisons la valeur critique de $\Delta T$ pour chaque valeur du nombre d'onde. Cela nous donne accès à la courbe de stabilité marginale (figure ) qui par sa courbure au voisinage du seuil nous donne la valeur de la longueur de cohérence $\xi_0$.

Figure: $A(\epsilon)$ pour différents modes entiers $k$ ($2\pi/L$). Chaque graphe nous donne accès à la valeur du seuil correspondant à un nombre d'onde, i.e. un point de la courbe de stabilité marginale.

Figure: Courbe de stabilité marginale obtenue dans l'anneau. Les cercles ($\circ$) sont les valeurs des seuils déduites des graphes de la figure . Les points affublés d'une grande barre d'erreur représente des séries ne contenant que quelque points de mesure et n'ont pas été utilisé pour l'ajustement. Les symboles ($+$) représentent pour chaque valeur du nombre d'onde les états stables obtenus pour la plus faible valeur de $\epsilon$. De même, les symboles ($\times$) représentent les états instables obtenus pour les valeurs les plus élevées de $\epsilon$. La courbe en trait plein représente la meilleure approximation des seuils ($\circ$) et l'on en déduit la valeur de $\xi_0$.

Figure: Evolution de la fréquence $f(\epsilon)$ pour différents modes entiers $k$ ($2\pi/L$).

En effectuant le même travail sur la fréquence en lieu et place de l'amplitude, nous en déduisons la valeur de la vitesse de groupe (dérivée première au seuil) ainsi que la valeur du facteur $(c_2-c_1)/\tau_0$ (courbure au seuil) ; les variations de la fréquence en $\epsilon$ et $k$ sont reproduites sur la figure .

Comme on peut le voir sur la figure , les différentes courbes représentant l'amplitude en fonction de $\epsilon$ n'ont pas la même pente et la dépendance de l'amplitude $Q=\vert A(y,t)\vert$ vis-à-vis du nombre d'onde ne peut se résumer à la simple relation $gQ^2 = \epsilon - \xi_0^2 q^2$. En utilisant la modélisation proposée en annexe , nous avons la relation plus riche $pgQ^2 = \epsilon - \xi_0^2 q^2$, où $p=p(q)=1+\delta c_4 \xi_0 q + \eta \xi_0^2 q^2$ est une fonction de $q$ exprimée dans l'annexe précédente. Nous ajustons donc la dépendance de l'amplitude $Q$ vis-à-vis de $\epsilon$ et $q$ et obtenons globalement les valeurs des coefficients du polynôme correspondant. La figure  représente alors le parfait alignement des points expérimentaux après correction par les nouveaux termes de l'équation d'amplitude.

Figure: Graphe de l'amplitude corrigée $pQ^2=(1+\delta c_4 q +\eta q^2)Q^2$ en fonction de l'écart au seuil corrigé $(\epsilon-q^2)$ pour l'ensemble des nombres d'onde $q=k-k_{\text c}$ accessibles dans l'expérience. Les valeurs des coefficients intervenant dans $p$ proviennent de l'ajustement global correspondant. Après correction, l'ensemble des points se rassemble bien le long d'une droite.

Les séries d'expériences requises pour construire le ballon de stabilité ont été effectuées par Arnaud Prigent dans le cadre de son stage de DEA.