1.3.4.3 Effet de la courbure

Nous présentons ici la résolution numérique de l'équation caractéristique () dans le cas $\mathit P{\mathrm r}\xspace =10$, ce qui correspond à nos conditions expérimentales. Nous avons de même choisi les valeurs de $W=\mathit M\!{\mathrm a}\xspace /\mathit R{\mathrm a}\xspace$ réalisées lors des séries d'expériences :

	$h$ (mm)	$W$	$\epsilon = L_\parallel/h$	$\Phi(0)=\phi$	$\Phi(1)$
rectangle	1,7	3,0	0,17	0	0
anneau	1,7	3,0	0,17	0,12	0,13
disque	1,2	6,0	0,019	15,88	0,94
disque	1,9	2,4	0,03	15,88	0,94

Nous avons porté dans le tableau ci-dessus les valeurs extrémales de la courbure : le maximum est réalisé au bord intérieur ( $\Phi(X\!=\!0)=L_\parallel/R_{\text{int}}$) et le minimum est réalisé au bord intérieur ( $\Phi(X\!=\!1)=L_\parallel/R_{\text{ext}}$). Pour nos calculs numériques, la courbure intervient seulement via $\Gamma_X=\epsilon \Phi(X)$ qui est un paramètre libre que nous varions et via $G_X$ qui remplace le nombre de Grashoff $\mathit G{\mathrm r}\xspace$.

Les figures  et représentent l'évolution avec la courbure $\Gamma_X=h/r$ du nombre de Marangoni critique, de la fréquence critique et des composantes $\alpha$ et $\beta$ du vecteur d'onde critique. Sur chacun des graphes, les cas $\Delta T > 0$ et $\Delta T < 0$ sont reproduits, le second étant représenté comme le cas d'une courbure négative. Nous remarquons tout de suite l'asymétrie entre la situation où le côté chaud est situé à l'extérieur et son opposée. Cette asymétrie provient des termes de courbure dans les équations en coordonnées cylindriques et elle correspond à l'absence de la symétrie $\{(\Delta T,r) \mapsto -(\Delta T,r)\}$. L'effet de la courbure est par ailleurs « continu » et le cas d'une courbure nulle n'est qu'un cas particulier.

Plus précisément, une courbure non nulle a deux conséquences distinctes. Tout d'abord, le seuil de l'instabilité en ondes est affecté : ce seuil est abaissé par une forte courbure si $T_{\text{ext}}>T_{\text{int}}$ mais il est augmenté par une forte courbure si $T_{\text{ext}}<T_{\text{int}}$. Ensuite, l'orientation du vecteur d'onde par rapport au gradient de température $\vec{\nabla} T$, ainsi que la fréquence critique sont modifiées. Si $\Delta T > 0$, une augmentation de la courbure $\Gamma_X$ conduit le vecteur d'onde à être aligné de plus en plus sur la direction radiale du gradient de température ; pour une certaine valeur de la courbure, le nombre d'onde azimuthal est même nul et la structure se comporte alors localement comme une onde cylindrique émise par le centre de la cellule. Si $\Delta T < 0$, le contraire se produit : l'angle $\psi$ augmente ; néanmoins, la composante $\alpha$ ne s'annule pas pour les valeurs de courbure que nous utilisons.

Figure: Effet de la courbure. Cas $\mathit P{\mathrm r}\xspace =10$, $W=2,4$ ($h=1,9$ mm dans nos expériences). Evolution avec $\Gamma_X=h/r$ du nombre de Grashoff critique $\vert\mathit G{\mathrm r}\xspace _c\vert$ (en haut), de la pulsation critique $\omega_c$ et des composantes réduites $(\alpha,\beta)$ critiques du vecteur d'onde (en bas). Sur chaque graphe, les résultats pour $\Delta T > 0$ et $\Delta T < 0$ sont reproduits, en définissant artificiellement en abscisse une courbure signée par $\Delta T$.

Figure: Effet de la courbure. Cas $\mathit P{\mathrm r}\xspace =10$, $W=6,0$ ($h=1,2$ mm dans nos expériences). Evolution avec $\Gamma_X=h/r$ du nombre de Grashoff critique $\vert\mathit G{\mathrm r}\xspace _c\vert$ (en haut), de la pulsation critique $\omega_c$ et des composantes réduites $(\alpha,\beta)$ critiques du vecteur d'onde (en bas). Sur chaque graphe, les résultats pour $\Delta T > 0$ et $\Delta T < 0$ sont reproduits en fonction de $(h/r) .$   sgn$(\Delta T)$.

Les comportements décrits ci-dessus semblent génériques ; ils ont été obtenus pour d'autres valeurs de $\mathit P{\mathrm r}\xspace$ et de $W$. Nous les confrontons aux résultats expérimentaux en § .

Notons que l'annulation de $\beta_c$, i.e. la transformation qualitative des ondes en cibles, survient pour des valeurs plus faibles de la courbure lorsque $W$ est plus petit : notre calcul nous indique ainsi que les plus fortes hauteurs de fluide sont les plus propices à l'observation d'ondes cibles.