1.4.3 Equations d'amplitude en géométrie rectangulaire 2D

Le passage de 1 à 2 dimensions d'espace des équations de ${\mathbb{C}}$GL ne présente pas de difficultés techniques. Les termes spatiaux -- uniquement des termes de dérivation -- doivent être modifiés. Dans le cas d'une géométrie isotrope, il semble alors naturel de remplacer $\partial_x$ par $\vec{\nabla}$ et $\partial_{xx}$ par le laplacien $\triangle$ des coordonnées cartésiennes.

Dans notre cas néanmoins, la deuxième dimension d'espace que nous rajoutons (notée $x$) correspond à la direction du gradient de température et l'on ne bénéficie plus de la symétrie $x \mapsto -x$. L'ensemble des deux équations cherchées et des deux solutions $(A,B)$ doit néanmoins rester invariant sous la symétrie ( $y \mapsto -y, A \leftrightarrow B$). Nous en déduisons alors :

$$\left\{ \begin{array}{r@{}l} \medskip \displaystyle \fr... ...B\vert^2 + \lambda\vert A\vert^2)B \\ \end{array} \right.$$

Bien sûr, ce système n'est rien d'autre que celui trouvé par Smith dans le cas où l'on néglige les termes intégraux de pression : $P \equiv 0$.