1.4 Une modélisation idoine et universelle

Les informations apportées par l'analyse de stabilité linéaire ne nous renseignent que sur quelques caractéristiques de l'instabilité (taux de croissance linéaire, nombre de Marangoni critique, fréquence et nombre d'onde critiques), et ce pour une valeur bien déterminée de la différence de température. Dans de nombreux cas, ces informations sont déjà suffisantes ou difficiles à obtenir. Néanmoins, si l'on désire en savoir plus -- notamment sur les dépendances vis à vis du paramètre de contrôle, ici $\Delta T$ -- il est nécessaire d'utiliser un autre outil : l'analyse faiblement non-linéaire. Nous allons décrire cette approche et ses résultats, puis nous inspirer de ces derniers pour écrire une équation modèle sous la forme d'une équation d'amplitude. Nous discuterons alors de sa validité et de sa généricité avant d'évoquer quelques généralisations possibles.

Il arrivera dans la suite que nous parlions d'ondes alors que seule leur amplitude sera en fait considérée : nous écartons alors artificiellement les dépendances « rapides » en temps et en espace que sont les oscillations à la fréquence au seuil $\omega_0$, et avec le vecteur d'onde au seuil $\vec{k_0}=(k_{0,x},k_{0,y})$. Ainsi, pour décrire un champ oscillant $\theta(\vec{r},t)$ tel que la température, nous écrivons implicitement :

$$\theta(x,y,z,t) = \theta_0(z) \left( (A(X,Y,T) \text{e}^{\text{i... ...k_{0,x}x + k_{0,y}y)} \right) + \hbox{${\mathbb{C}}$}\hbox{${\mathbb{C}}$}$$

où $\hbox{${\mathbb{C}}$}\hbox{${\mathbb{C}}$}$ désigne le complexe conjugué du terme le précédant. Notre propos porte alors sur les amplitudes $A$ et $B$, lentement variables en temps et en espace via $(X,Y,T)$. Pour décrire les comportements du champ oscillant, ces amplitudes sont plus appropriées qu'une fonction particulière $\theta$ telle que la température, les composantes de la vitesse, la pression où la déflection de la surface si le modèle la prend en compte.

Notation : Nous écrivons $k$ un nombre d'onde de la structure, $k_0$ la valeur critique de ce nombre d'onde et $q=k-k_0$ le nombre d'onde associé aux variations de l'amplitude. De même, la fréquence des ondes hydrothermales est notée $\omega_0+\omega$ où $\omega_0$ est la fréquence critique. Lorsque seul l'état de base est présent, nous avons $A \equiv 0$, $B \equiv 0$ et nous l'appelons l'état de repos.