1.4.5.1 Dérivations numériques

Nous pouvons utiliser nos calculs de stabilité linéaire (§ ) pour obtenir numériquement les valeurs de quelques coefficients des équations d'amplitude.

Figure: Exemple de courbes $\mathit G{\mathrm r}\xspace _{\text c}(k_\parallel,k_\perp)$ (à gauche) et $\omega_{\text c}(k_\parallel,k_\perp)$ (à droite). Chaque point est obtenu en fixant $k_\parallel=\alpha$ et $k_\perp=\beta$ et en résolvant (). Chaque courbe est obtenue en fixant $\beta$ et en variant $\alpha$. Les valeurs des paramètres ont été choisies ainsi : $\mathit P{\mathrm r}\xspace =10$, $W=3$, $\mathit B{\mathrm i}\xspace =1$ et courbure nulle.

En effet, outre les valeurs du nombre de Marangoni critique, de la fréquence critique $\omega_0$ et du vecteur d'onde critique $\vec{k}_0$, nous avons plus généralement accès aux courbes $\mathit G{\mathrm r}\xspace _c(k_\parallel,k_\perp)$ et $\omega_c(k_\parallel,k_\perp)$ en résolvant l'équation caractéristique () pour chaque couple de composantes du nombre d'onde $k_\parallel=\alpha$ et $k_\perp=\beta$ données. La figure  présente de telles courbes critiques. Comme noté par Laure et Mutabazi (1994), cela nous permet d'en déduire :

$$v_{\text{g}\parallel} = \left. \displaystyle \frac{\partial \omeg... ...le \frac{\partial \omega_c}{\partial k_\perp}\right\vert _{\vec{k}=\vec{k}_0}$$

ainsi que :

$$\xi_{0 \parallel}^2 = \left. \displaystyle \frac{1}{2 \mathit G{\... ...it G{\mathrm r}\xspace }{\partial k_\perp^2} \right\vert _{\vec{k}=\vec{k}_0}$$

Ces dernières expressions sont reliées à notre définition du paramètre de contrôle $\epsilon$ :

$$\epsilon = \displaystyle \frac{\Delta T - \Delta T_{\text c}}{\De... ...t M\!{\mathrm a}\xspace _{\text c}}{\mathit M\!{\mathrm a}\xspace _{\text c}}$$

En nous plaçant dans le cas sans courbure correspondant au rectangle, pour une hauteur de fluide $h=$1,7 mm et une extension $L_x=$10 mm, nous trouvons alors un jeu de valeurs, que nous re-dimensionalisons avec les échelles de temps $\tau_\nu$=4.44 s et d'espace $h$ comme définies précédement. Le tableau de la figure  présente les résultats obtenus.

Figure: Valeurs numériques des parties réelles des coefficients en facteur des termes linéaires de l'équation d'amplitude au seuil des ondes hydrothermales pour $\mathit P{\mathrm r}\xspace =10$, $W=3$, $\mathit B{\mathrm i}\xspace =1$, courbure nulle.

$\alpha=k_\parallel$ et $\beta=k_\perp$ sont les composantes du vecteur d'onde selon la direction du gradient et selon la direction perpendiculaire. Le problème étant décomposé selon ces deux directions, il nous est aisé de calculer les dérivées partielles selon chacune d'entre elles.

Remarquons au passage que nous observons (figure ) une très faible courbure de la surface $\omega_c(k_\parallel,k_\perp)$ ; or cette courbure est liée au coefficient $c_1$ (relation ) qui doit donc être très petit ( $c_1 \simeq 0$).