1.4.1 Développement en échelles multiples et difficultés

Une analyse faiblement non-linéaire autour du seuil de l'instabilité en ondes hydrothermales a été entreprise par Smith (1988) dans le but de déterminer si les ondes hydrothermales étaient des ondes propagatives couplées non-linéairement de façon destructive ou au contraire couplées de sorte à donner des ondes stationnaires.

Cette approche classique consiste à effectuer un développement en échelles multiples utilisant le petit paramètre $\epsilon = (\mathit M\!{\mathrm a}\xspace - \mathit M\!{\mathrm a}\xspace _{\text c})/\mathit M\!{\mathrm a}\xspace _{\text c}$, distance au seuil adimensionnée. Malheureusement, la résolution de la condition de solvabilité, permettant de donner les équations d'amplitude attendues, doit être effectuée par voie numérique. La structure de ces équations peut néanmoins être écrite formellement et Smith obtient^1.5 :

$$\left\{ \begin{array}{r@{}l} \medskip \displaystyle \fr... ...2\perp} \partial_y) \vert B\vert^2 \\ \end{array} \right.$$

${\cal L}_A$ et ${\cal L}_B$ sont des opérateurs de dérivation spatiale du second ordre explicités plus loin. $c$, $v_{\text{g}\parallel}$, $v_{\text{g}\perp}$, $g$, $p_{1\parallel}$, $p_{1\perp}$, $p_{2\parallel}$ et $p_{2\perp}$ sont des coefficients complexes qui dépendent du nombre de Prandtl et des conditions aux limites et sont déterminés numériquement. L'existence de la troisième équation n'est qu'un jeu d'écriture. En effet, cette dernière relation entre $\vert A\vert^2$, $\vert B\vert^2$, et $P$ est linéaire et peut être inversée de sorte à éliminer $P$ des deux premières équations. Formellement :

$$P(x,y,t) = G_A(x,y) * \vert A(x,y,t)\vert^2 + G_B(x,y) * \vert B(x,y,t)\vert^2$$

où $G_A$ et $G_B$ sont les fonctions de Green suivantes :

$$G_{A,B} = \frac{1}{(2\pi)^2} \iint \mathrm d^2 \vec{k} \quad \f... ...l} k_x \pm p_{2\perp} k_y) \displaystyle \text{e}^{-\text{i}\vec{k}\vec{r}}$$

Ceci fait apparaître deux termes intégraux dans chacune des deux équations pour $A$ et $B$. Ces termes traduisent l'existence d'un écoulement à grande échelle. Dans la suite, nous négligeons ces termes.

Notons que $v_{\text{g}\parallel}$ désigne la vitesse de groupe dans la direction $x$ du gradient de température et $v_{\text{g}\perp}$ la vitesse de groupe dans la direction $y$ orthogonale au gradient. Le changement de signe de la vitesse de groupe entre l'équation pour $A$ et celle pour $B$ n'est opéré que sur $v_{\text{g}\perp}$ ce qui traduit un fait observé dans les expériences : les ondes se propagent toujours du froid vers le chaud dans la direction $x$, mais choisissent entre la droite et la gauche dans la direction $y$. Cette différence entre les directions $x$ et $y$ n'est rien d'autre que la signature de la brisure de symétrie par le gradient de température, brisure imposée sur l'écoulement de base, avant la bifurcation. Les opérateurs de dérivation spatiale ${\cal L}_A$ et ${\cal L}_B$, ainsi que ceux affectés des coefficients $(p_{1\parallel},~p_{1\perp},~p_{2\parallel},~p_{2\perp})$ sur les termes de pression gardent eux aussi la trace de cette « dissymétrie ».

Nous avons :

$${\cal L}_A = (\xi_0^\parallel)^2 \partial_{xx} + (\xi_0^\perp)^2 \partial_{yy} + (\xi_{\text a})^2 \partial_{xy}$$

$${\cal L}_B = (\xi_0^\parallel)^2 \partial_{xx} + (\xi_0^\perp)^2 \partial_{yy} - (\xi_{\text a})^2 \partial_{xy}$$

où les coefficients sont a priori complexes. Nous observons ainsi que la symétrie droite/gauche est préservée :

$$(y \mapsto -y) \Rightarrow ({\cal L}_A,{\cal L}_B \mapsto {\cal L}_B,{\cal L}_A)$$

La structure de ces termes spatiaux est identique à celle des équations de Ginzburg-Landau complexe ( ${\mathbb{C}}$GL) pour les milieux excitables isotropes ainsi qu'à celle de l'équation de Ginzburg-Pitaevskii pour les fluides anisotropes. Dans le cas de ${\mathbb{C}}$GL :

$$\xi_0^\parallel = \xi_0^\perp$$   et$$\quad \xi_{\text a} = 0$$

et dans le cas de Ginzburg-Pitaevskii :

$$\xi_0^\parallel \neq \xi_0^\perp$$   et$$\quad \xi_{\text a} = 0$$

La structure du terme spatial trouvé par Smith -- et qui est aussi celui de toutes les équations précédentes -- est différente de la structure du terme spatial de l'équation de NWS déduite par Segel (1969), Newell et Whitehead (1969) pour une structure stationnaire de convection de Rayleigh-Bénard dans un milieu isotrope :

$${\cal L}_A = \xi_0^2 \left(\partial_x - \frac{\text{i}\xi_0}{2k_0} \partial_{yy} \right)^{2} \qquad (\xi_0^\parallel = \xi_0^\perp = \xi_0)$$

Les différences entre tous ces termes trouvent leur origine dans les symétries spatiales du problème considéré. Le cas des ondes hydrothermales correspond à celui d'une géométrie anisotrope : la direction du gradient de température n'a pas le même rôle que la direction perpendiculaire. La symétrie $x \rightarrow -x$ n'existe en effet pas ; cela conditionne le choix a priori des termes spatiaux qui ont un sens. Nous allons dans les sections suivantes reconstruire les équations d'amplitude à partir des symétries.