1.1.1.1 Effet thermogravitaire

Le premier mécanisme susceptible d'engendrer un mouvement dans la couche de fluide est la variation de la densité $\rho$ du fluide avec la température, que nous modélisons par l'équation d'état suivante :

$$\displaystyle \rho(T) = \rho_0 \left(1 - \alpha (T-T_0) \right)$$ (1.1)

où

$$\alpha = - \left. \frac{1}{\rho_0}\frac{\partial \rho}{\partial T} \right\vert _{T=T_0} =$$   cste$$$$

Pour des raisons de stabilité thermodynamique, on a généralement $\alpha >0$ dans les fluides purs. Cette dépendance de $\rho$ avec la température est à l'origine de la convection de Rayleigh-Bénard lorsqu'existe un gradient vertical négatif de température. Dans notre cas, elle induit une dilatation du fluide du côté chaud, donc une élévation de la surface, et ainsi une différence de pression horizontale à une hauteur d'observation fixée (cf Fig. ). En surface, le fluide est donc animé d'un mouvement de la zone chaude vers la zone froide.

Figure: Déformation élémentaire de la surface libre par la poussée d'Archimède due à un gradient horizontal de température.

Ce mécanisme opère en volume, et il est présent dès que la différence de température $\Delta T$ est non nulle. On s'attend par ailleurs à ce qu'il soit d'autant plus important que la hauteur de fluide est plus grande.

En coordonnées cartésiennes, avec $\vec{\nabla} T$ selon $\vec{e}_x$, il est possible de calculer la variation de la hauteur survenant sur un petit élément de surface $\mathrm dx$ lors de l'imposition d'un gradient $\mathrm dT/\mathrm dx$ ; nous obtenons (les calculs sont reportés en annexe , page ) :

$$\displaystyle \frac{\mathrm dh}{\mathrm dx} = \frac{3}{8} \alpha h \frac{\mathrm dT}{\mathrm dx} \quad \propto h$$ (1.2)

Application numérique: avec $\frac{\mathrm dT}{\mathrm dx}=1$ K/cm, et $h=1,7$ mm, il vient $\frac{\mathrm dh}{\mathrm dx} = 6.10^{-6}$ pour l'eau et $8,5.10^{-5}$ pour l'huile aux silicones que nous utilisons, ce qui est tout à fait négligeable dans nos réalisations expérimentales.