A. A propos de l'élévation de hauteur

Nous allons ici détailler comment sont obtenues les formules () et () qui décrivent de combien s'élève la surface libre d'un fluide soumis à un gradient horizontal de température $\frac{\mathrm dT}{\mathrm d x}$ par l'effet de la thermogravité et de la thermocapillarité. Les calculs ci-dessous sont inspirés du calcul présenté par Guyon et al. (1991).

Nous considérons un volume de fluide de hauteur $h(x)$ compris entre $x$ et $x + \mathrm dx$ en nous restreignant au plan $(x,z)$. Nous supposons que la vitesse peut être mise sous la forme : $\vec{v}(x,z) = u(z)\vec{e}_x$, i.e., que la vitesse verticale est négligeable (elle est d'ailleurs nulle en géométrie rectangulaire). L'équation de Navier-Stokes en régime stationnaire se réduit à :

$$\left\{ \begin{array}{ll} 0 = -\displaystyle \frac{\partial ... ...frac{\partial p}{\partial x} - \rho g \\ \end{array} \right.$$

avec :

$$\rho=\rho(x)= \rho_0 + \displaystyle \frac{\mathrm d\rho}{\mathrm... ... = \rho_0 \left(1 - \alpha \displaystyle \frac{\mathrm dT}{\mathrm dx}x\right)$$

Nous fixons les constantes d'intégration avec les conditions suivantes :

$$u(y=0)=0$$

$$\int_{0}^{h} u(z) \mathrm dz = 0$$

$$p(z=h)=p_0$$

où $p_0$ est la pression atmosphérique. Nous linéarisons la dépendance de $p$ en $x$ et nous en déduisons alors :

$$p(x,z) = p_0 + \rho g (h-y) + \rho_0 g \frac{\mathrm dh}{\mathrm dx} x + g \frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dx} (h-y) x$$

$$= p_0 + \rho_0 g \left( \frac{\mathrm dh}{\mathrm dx} x + (1 - \alpha \frac{\mathrm dT}{\mathrm dx}x)(h-y) \right)$$

d'où :

$$u(z) = \frac{\rho g}{\eta} \left[ \frac{\mathrm dh}{\mathrm dx} ... ...mathrm dx}\left(-\frac{y^3}{6} +\frac{hy^2}{2} -\frac{h^2 y}{4}\right) \right]$$

Nous relions ensuite cette expression à la tension de surface grâce à la condition aux limites cinématique tangentielle à la surface :

$$\eta \displaystyle \left.\frac{\partial u}{\partial z}\right\vert... ...= \frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm dx} = - \gamma \frac{\mathrm dT}{\mathrm dx}$$

d'où, en négligeant $\mathrm dh$ devant $h$ :

$$\frac{\mathrm dh}{\mathrm dx} = \left( - \frac{3}{2} \frac{\gamma}{\rho g h} + \frac{3}{8} \alpha h \right) \frac{\mathrm dT}{\mathrm dx}$$ (A.1)

Nous en déduisons les formules () et () donnant la déflection de surface dans le cas purement thermogravitaire ($\gamma=0$) et dans le cas purement thermocapillaire ($\alpha=0$).

La variation de surface d'origine thermogravitaire varie proportionnellement à $h$ alors que la variation de surface d'origine thermocapillaire varie comme l'inverse de $h$. Pour des très faibles valeurs de la hauteur ($h=0,6$ mm), nous avons expérimentalement constaté dans la cellule « LOTUS » une déflection de la hauteur atteignant déjà 50% de la valeur nominale au seuil des ondes OH2...