C.4 Bilan

Pour $L_x=10$ mm et $h=1,7$ mm, et en combinant tous les résultats obtenus dans l'anneau et le rectangle, nous avons :

grandeur	expérience	théorie linéaire
$k_0$	0,684 mm$^{-1}$	1,147 mm$^{-1}$
$\omega_0$	1,49 s$^{-1}$	1,11 s$^{-1}$
$\xi_0$	5,1 mm	3,66 mm
$v_g$	0,895 mm/s	0,69 mm/s
$\tau_0$	$\simeq 5$ s	4,44 s
$c_0$	3	$\times$
$c_1$	0	$\times$
$c_2$	1	$\times$
$\gamma$	?	$\times$
$\gamma c_3$	?	$\times$
$\delta$	$-0,6$	$\times$
$\delta c_4$	$0,58$	$\times$
$\eta$	$-1,7$	$\times$
$\eta c_5$	$0,5$	$\times$

La dernière colonne rappelle les résultats obtenus par l'analyse de stabilité linéaire explicitée en § .

L'ensemble de ces coefficients est susceptible de varier avec la hauteur de fluide $h$, et dans une moindre mesure avec la largeur de la cellule $L_\parallel$. En effet, la hauteur de fluide conditionne par exemple l'échelle de temps (cf adimensionalisation, § ). Nous avons aussi vérifié lors de nos expériences la très forte dépendance de $\omega_0$ avec $h$ ; celle-ci est illustrée sur la figure  qui montre la dépendance de la période des ondes en fonction de $h$ dans différentes configurations. Pour ce qui est de la dépendance en $L_\parallel$ -- visible sur la figure  en bas à droite --, nous avons proposé avec Burguete et al. (2000) une loi d'échelle inspirée de la définition du nombre de Marangoni ( $\propto h^{3}/L_\parallel$) pour rassembler les seuils obtenus dans le rectangle avec $L_\parallel=$10, 20 et 30 mm. Cette approche n'est pas suffisante pour décrire le comportement de la fréquence. Pour cela, la figure  présente un ajustement linéaire de la période avec la hauteur et nous observons qu'en géométrie étendue bidimensionnelle ( $L_\parallel \ge 30$ mm) la fréquence est indépendante de $L_\parallel$. Nous remarquons aussi que le confinement augmente la fréquence des ondes.

Figure: Variation de la période $T=f^{-1}$ avec la hauteur $h$. A gauche : cas du rectangle pour $L_x=10$ mm (en haut) et $L_x=30$ mm (en bas) ; les mesures sont effectuées sur différentes valeurs de $\Delta T$ et la dépendance en $\epsilon$ disperse les points. Pour $L_x=30$ mm, des OH2 sont observées à petite hauteur et il existe une plage (en $h$) de transition entre les deux types d'ondes. A droite : cas du disque (en haut) ; seules les valeurs au seuil de l'instabilité en onde sont reportées. La compilation des résultats (en bas à droite) montre la dépendance vis-à-vis de $L_\parallel$ : le confinement augmente la fréquence. Un saut de fréquence distingue les deux types d'ondes hydrothermales.

L'ensemble des expériences et calculs des coefficients doit donc a priori être réalisé à chaque changement des deux paramètres dimensionnels que sont $h$ et $L_\parallel$. La courbure représente encore une dépendance possible, mais celle-ci doit pouvoir être incluse dans la forme a priori des équations.

Ainsi, les équations d'amplitude correspondant aux petites et grandes hauteurs dans la cellule LOTUS  ne seront pas les mêmes à cause de coefficients différents dus à des hauteurs différentes. Nous pouvons ainsi imaginer que les termes spatiaux ${\cal L}_{A,B}$ varient avec $h$ et que cette variation permet d'expliquer les différents comportements des composantes des vecteurs d'ondes des OH1 et des OH2.