1.3.4.1 Caractéristiques

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1.3.4.1 Caractéristiques

Les ondes apparaissent avec une fréquence et un nombre d'onde finis. La prise en compte des effets thermogravitaires et/ou de déflections de la surface peut, dans les cas limites où ceux-ci sont importants, conduire à d'autres modes d'instabilités de fréquences différentes. Pour la fréquence des ondes hydrothermales, un assez bon accord existe entre les résultats expérimentaux dans l'huile de silicone (Garcimartín et al. (1997), Pelacho et Burguete (1999), Mukolobwiez (1998)) et les prédictions théoriques (Smith et Davis (1983a), Mercier (1997)). De nombreux résultats expérimentaux sur les ondes hydrothermales dans l'huile que nous utilisons, dans des géométries rectangulaires étendues, sont présentés et discutés dans l'article de Burguete et al. (2000) ; nous donnons dans le tableau de la figure

un aperçu des différentes expériences rapportées.

**Figure:** Résumé des études théoriques de la stabilité temporelle des écoulements thermocapillaires en géométrie infinie rectangulaire. Le gradient de température est toujours horizontal. $\mathit M\!{\mathrm a}\xspace$ signifie la prise en compte de la tension de surface, $\mathit R{\mathrm a}\xspace$ la prise en compte de la thermogravité et la prise en compte des déflections de surface. La colonne « dim. » indique la dimensionnalité des perturbations considérées. Les conditions limites thermiques sont notées ainsi : I : isolant, C : conducteur, B : nombre de Biot. Les modes observés sont notés ainsi : OH : ondes hydrothermales, MH : modes hydrodynamiques ( $\mathit P{\mathrm r}\xspace <0,1$ ), OS : ondes de surface, RS : rouleaux stationnaires longitudinaux.
$\begin{figure} \begin{center} \begin{tabular}{l\vert c\vert c\vert c\vert c\ve... ...C-I/B & $10^{-4}-1$& OH \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{figure}$

**Figure:** Résumé des études numériques des écoulements thermocapillaires. La colonne « dim. » indique la dimensionnalité de la simulation numérique. Les conditions limites thermiques sont notées I pour isolant, C pour conducteur et Bc pour l'utilisation de la loi de Newton avec profil de température constant dans l'air. RC : rouleaux corotatifs, O : oscillations temporelles issues de la déstabilisation du premier rouleau ou de la couche limite.
$\begin{figure} \begin{center} \begin{tabular}{l\vert c\vert c\vert c\vert c\ve... ...D & C/Bc & $\infty$& RC \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{figure}$

**Figure:** Synthèse des études expérimentales imposant un gradient horizontal de température à une mince couche de fluide avec surface libre. Les structures observées sont abrégées ainsi : RC : rouleaux corotatifs structurant l'écoulement de base, OH : ondes hydrothermales bien caractérisées se propageant du froid vers le chaud, RS : rouleaux stationnaires d'axe colinéaire au gradient de température, CL : instabilité de couche limite ou du premier rouleau du côté chaud produisant des ondes voyageant du chaud vers le froid.
$\begin{figure}\begin{center} \begin{tabular}{@{\:}l@{\:}c@{\:}c@{\:}\vert@{\:}c... ...& 225 & $0.6-1.9$& 10.3 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{figure}$

Les ondes apparaissent avec un angle de propagation $\psi$ entre le gradient de température et leur vecteur d'onde ; nous détaillons un peu plus cette notion d'angle en § . La figure fixe les idées en géométrie rectangulaire. Avec les notations précédentes en géométrie cylindrique, nous avons :

$\displaystyle \psi = \displaystyle \arctan \left( \frac{\beta}{\alpha} \right)$ car $\displaystyle \quad \frac{k_\theta}{r k_r} = \frac{n}{r(\frac{\alpha}{h})} = \frac{h n \Phi(X)}{L \alpha}$

**Figure:** Schéma illustrant la définition de l'angle de propagation $\psi$ des ondes. $v_{\text{surf}}$ : vitesse du fluide en surface, du chaud vers le froid. Le vecteur d'onde $\vec{k}$ a pour composantes $k_\parallel=\alpha$ selon $\vec{e}_\parallel$ et $\beta=k_\perp$ selon $\vec{e}_\perp$ .
$\begin{picture}(180,160)(-175,0) \put(-175, 0){\includegraphics[width=6cm]{angl... ...0)[b]{$T_{+} > T_{-}$}} \put( -90, 10){\makebox(0,0)[t]{$T_{-}$}} \end{picture}$

Smith et Davis (1983a), Smith (1986) ont montré une dépendance de cet angle en fonction du nombre de Prandtl (uniquement). Ainsi, pour les petits nombres de Prandtl, les ondes sont attendues avec un vecteur d'onde presque colinéaire au gradient de température ; plus le nombre de Prandtl augmente et plus l'angle augmente jusqu'à ce que le vecteur d'onde soit presque perpendiculaire au gradient. Les expériences ont confirmé l'ordre de grandeur mais seule une faible gamme de nombre de Prandtl a été parcourue. Parmentier et al. (1993), Mercier (1997) ont eux montré une dépendance de $\psi$ vis-a-vis de

. Pour les plus faibles valeurs de

, i.e. les plus grandes valeurs de

, l'angle $\psi$ est nul; pour les plus grandes valeurs de

, i.e. les plus faibles valeurs de

, l'angle est fini et proche de $\pi/2$ .

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Nicolas Garnier - Thèse de doctorat