2.4.2 Transformée de Hilbert et filtrage

Une fois la fréquence $f_0$ de la porteuse des ondes déterminée, une transformée de Hilbert associée à un filtrage est appliquée dans cette même direction à l'ensemble du diagramme. Le signal «brut» réel, qui peut être écrit pour le mode principal :

$$a_r(x,t) = A_r(x,t) \cos (\omega(x,t) t \pm k(x,t) x)$$

est ainsi transformé en signal complexe équivalent :

$$a_c(x,t) = A_c(x,t) ~e^{i(\omega(x,t) t \pm k(x,t) x)} ~~$$avec$$~~ A_r = \Re[A_c(x,t)]$$

La transformée de Hilbert correspond à un effacement des fréquences négatives. Il s'agit donc d'un filtre linéaire particulier appliqué au signal brut $a_r(x,t)$. En tant que filtrage linéaire, il peut être interprété comme une convolution du signal de départ avec une fonction de transfert, i.e., une multiplication dans l'espace de Fourier :

$$a_c(x,\omega) = a_r(x,\omega) H_0(\omega)$$

où $H_0(\omega)$ est une version particulière de la fonction d'Heavyside qui s'annule à l'origine :

$$H_0 : \omega \mapsto \begin{cases} 1 \text{ si } \omega > 0 \\ 0 \text{ si } \omega \leq 0 \\ \end{cases}$$

La fréquence nulle est effacée car elle correspond à la valeur moyenne du signal le long de la colonne $x$, ce qui n'a pas de sens physique dans notre cas^2.8.

$$a_r(x,\omega=0) = \ensuremath{\left\langle a_r(x,t)\right\rangle}_{t \in [0, T]} ~~\Rightarrow~~ a_c(x,\omega=0) = 0$$

Nous profitons de la transformée de Hilbert pour appliquer un second filtre au signal (deux filtres linéaires commutent) afin d'éliminer la partie du signal hors de notre propos : les harmoniques du signal de l'onde, les signaux parasites non stationnaires (éventuelles ondes de gravité...) et le plus de bruit possible :

$$a_f(x,\omega) = a_c(x,\omega) F_t(\omega) = a_r(x,\omega) (F_t.H_0)(\omega)$$

Le choix du filtre $F_t(\omega)$ et sa construction sont détaillés dans le paragraphe suivant.