1.2.3 Géométrie cylindrique

Figure: Section de la géométrie cylindrique et notations associées. Par convention, on écrira toujours $\Delta T = T_{\text{ext}} - T_{\text{int}}$, le signe de $\Delta T$ sera donc quelconque. L'axe des $r$ est orienté de l'intérieur vers l'extérieur. Deux lignes de courant de l'écoulement de base sont symboliquement représentées sur lesquelles est perceptible une dépendance en $r$.

Si le développement en $\epsilon=\Gamma_\parallel^{-1}$ était presque inutile en géométrie rectangulaire, il s'avère intéressant dans le cas plus ardu de la géométrie cylindrique où il a été utilisé par Vrane et Smith (1996). Nous écrivons ici $L = R_{\text{ext}} - R_{\text{int}}$ la longueur de la cellule dans le sens du gradient (figure ) et $\phi = L/R_{\text{int}}$ le paramètre de courbure. Nous pouvons alors écrire la coordonnée spatiale dans le sens du gradient (radial) à l'aide d'une variable adimensionnée $X$ :

$$r = R_{\text{int}} + hx = R_{\text{int}} + L X \qquad X \in [0,1]$$

Là encore, $X$ sera la variable lente (variations sur l'échelle $L$) par opposition à $x$ et $z$ (variations sur l'échelle $h$). Contrairement au cas rectangulaire, le problème n'est ici plus symétrique sous la transformation $\{(\vec{\nabla}T,\vec{e}_\parallel) \mapsto -(\vec{\nabla}T,\vec{e}_\parallel)\}$, et nous choisissons de noter $\Delta T = T_{\text{ext}} - T_{\text{int}}$ quels que soient les côtés chaud et froid. A l'ordre le plus bas en $\epsilon$, une résolution du système analogue au cas rectangulaire conduit à :

$$\left \{ \begin{array}{r@{}l} u_0(X,z) & = \mathit G{\ma... ...0 \\ T_0(X,z) & = T_{\text c}(X) \\ \end{array} \right.$$

où $\bar{u_0}(z)$ est le même polynôme de degré 3 en $z$ que dans le cas rectangulaire, ce qui traduit la même allure des profils verticaux de vitesse $u$. Le profil conductif $T_{\text c}(X)$ apparaît encore au premier ordre, mais il s'agit maintenant du profil conductif en géométrie cylindrique :

$$T_{\text c}(X) \equiv \ln(1+\phi X)$$

La dépendance hyperbolique en $r$ du profil de vitesse en géométrie cylindrique est traduite par une enveloppe lentement variable en $X$, notée $\Phi(X)$ :

$$\Phi(X) = \displaystyle \frac{\phi}{1+\phi X} = \displaystyle \... ...{R_{\text{ext}}-R_{\text{int}}}{r} = \frac{\mathrm dT_{\text c}}{\mathrm dX}$$

Cette enveloppe peut être interprétée comme le flux unitaire de température à travers la surface extérieure verticale d'un cylindre de rayon $r(X)$.

A l'ordre suivant, il vient :

$$\left \{ \begin{array}{r@{}l} u_1(X,z) & = \mathit G{\ma... ...mathrm a}\xspace \Phi(X)^3 ~\tau(z) \\ \end{array} \right.$$

où $\tau(z)$ est le même polynôme en $z$ que dans le cas rectangulaire, et $\bar{u_1}(z)$ un nouveau polynôme en $z$ traduisant le couplage entre $u$ et $T$ dû à la géométrie cylindrique. Ce polynôme a, dans le cas général ( $\mathit R{\mathrm a}\xspace \neq 0, \mathit M\!{\mathrm a}\xspace \neq 0$), une expression compliquée. Dans le cas purement thermocapillaire ( $\mathit R{\mathrm a}\xspace = 0$), et pour un fond conducteur, il s'écrit plus simplement :

$$\left.\bar{u_1}(z)\right\vert _{\mathit R{\mathrm a}\xspace =0} =... ...0z^4 -24z^2 +20z) + (1-\mu)\mathit P{\mathrm r}\xspace (3z^2 - 2z) \right]$$

Dans le cas d'un fond isolant, l'expression de $\bar{u_1}$(z) est déduite de la précédente remplaçant le terme en $(1-\mu)\mathit P{\mathrm r}\xspace$ par 1.

A l'ordre suivant, on trouve $w_2 \neq 0$, ce qui traduit l'apparition d'une vitesse verticale, inexistante dans le cas rectangulaire. De même, les termes suivants pour $u$ et $T$ ne seront pas nuls, mais de plus en plus petits pourvu que $Gr \Phi(X)$ soit faible. Le développement en $\epsilon=h/L$ qui donnait parfaitement l'écoulement de base en géométrie infinie dans le cas rectangulaire ne donne ici qu'un développement approché car la géométrie ne peut être que semi-infinie à cause de la singularité en $r=0$ ( $\Phi \rightarrow \infty$). Néanmoins, les résultats obtenus dans le cas rectangulaire peuvent se déduire des expressions cylindriques par la limite des faibles courbures, réalisée loin du point singulier $(r=0)$ :

$$\left\{ R_{\text{int}} \rightarrow \infty , \quad R_{\text{ext}... ...w \quad \left\{ \phi \rightarrow 0 , \quad \Phi(X) \rightarrow 1 \right\}$$

Le bilan de nos calculs peut être résumé ainsi :

$$\left \{ \begin{array}{r@{}l} u(X,z) & = \mathit G{\mathrm r}\... ...psilon \mathit R{\mathrm a}\xspace \Phi(X)^3 ~\tau(z) \\ \end{array} \right.$$ (1.8)

Nous poserons dans la suite :

$$\Gamma_X=\epsilon \Phi(X) = \displaystyle \frac{h}{r}$$   et$$\qquad G_X = \mathit G{\mathrm r}\xspace ~\Phi(X) = \displaystyle \mathit G{\mathrm r}\xspace ~\frac{L}{r}$$

$G_X$ représente alors un nombre de Grashoff local qui tient compte de la courbure et $\Gamma_X$ représente les effets de courbure relatifs.