1.2.2 Géométrie rectangulaire

Figure: Section de la géométrie rectangulaire et notations associées. L'axe des $x$ est orienté du froid vers le chaud. Deux lignes de courant de l'écoulement de base sont symboliquement représentées. Nous avons de plus illustré l'effet des parois en $x=0$ et $x=L$ (recirculation du fluide) ; le calcul perturbatif effectué dans le texte ne donne accès qu'à l'écoulement loin de ces parois.

Nous considérons que le fluide est dans une boîte finie de longueur $L$ selon la direction du gradient (figure ) et nous notons l'abscisse adimensionnée $X = x/L = \epsilon x/h$. Ainsi, la variable $X$ sera une variable « lente » par rapport à la variable $z$.

Nous décrivons précisement la résolution du système à l'ordre le plus bas en $\epsilon$ ; la résolution aux ordres suivants s'effectue de la même façon. A l'ordre 0 en $\epsilon$, le système d'équations s'écrit :

$$\left \{ \begin{array}{r@{}c@{}l} \smallskip \displayst... ...\frac{\partial^2 T_0}{\partial z^2} \\ \end{array} \right.$$

La troisième équation se résoud en utilisant les conditions aux limites mécaniques en $z=0$ et il vient $w_0=0$, i.e. pas de vitesse verticale. La quatrième équation se ré-écrit alors plus simplement comme l'équation de diffusion de la chaleur à une dimension (selon $\vec{e}_X$) ; en utilisant les conditions aux limites thermiques en $z=0$ et $z=1$, nous trouvons $T_0(X,z)=T_c(X)$, i.e. le profil conducteur, indépendant de $z$. Nous éliminons ensuite la pression entre les deux premières équations et nous utilisons les expressions de $w_0$ et $T_0$ ; il vient :

$$\frac{\partial^3 u_0}{\partial z^3} = \mathit G{\mathrm r}\xspace$$

Nous en déduisons que $u_0$ est un polynôme de degré 3 en $z$ dont les coefficients sont éventuellement des fonctions de $X$. En utilisant les conditions aux limites mécaniques et la conservation de la matière dans une section verticale de la cellule, nous obtenons les valeurs des coefficients. Dans le cas rectangulaire, ces derniers sont indépendants de $X$, et il en est donc de même de $u_0$. Nous avons ainsi :

$$\left \{ \begin{array}{r@{}c@{}l} u_0(X,z) & = & \mathit... ...0(X,z) & = & T_{\text c}(X) \equiv X\\ \end{array} \right.$$

où $T_{\text c}(X)$ est le profil conductif de température et $\bar{u_0}(z)$ est un polynôme de degré 3 en $z$ qui traduit la structure du profil vertical de vitesse :

$$\bar{u_0}(z) = \frac{1}{48}(8z^3 - 15 z^2 +6z) - \frac{W}{4}(3z^2 -2z)$$

A l'ordre suivant (ordre $\epsilon^1$) et en utilisant les résultats ci-dessus, il vient par la même démarche :

$$\left \{ \begin{array}{r@{}l} u_1(X,z) & = 0 \\ w_1(X... ...\mathit R{\mathrm a}\xspace \tau(z) \\ \end{array} \right.$$

où $\tau(z)$ est un polynôme en $z$ qui traduit la structure du profil vertical de température ; son expression dépend du type de conditions aux limites thermiques en $z=0$ et $z=1$. Suivant le choix d'un fond conducteur ou isolant, nous obtenons :

$$\left\vert \begin{array}{ll} \tau(z) = \displaystyle \frac{... ...ght] & \quad \text{si fond isolant} \\ \end{array} \right.$$

Aux ordres suivants, il ne reste que des systèmes d'équations dont les solutions sont triviales :

$$\left \{ \begin{array}{r@{}l} u_n(X,z) & = 0 \\ w_n(X... ...\ T_n(X,z) & = 0 \\ \end{array} \right. \forall n \ge 2$$

La méthode perturbative en $\epsilon=h/L$ donne donc un résultat exact dans le cas rectangulaire, et fournit un moyen simple d'obtenir l'écoulement de base :

$$\left \{ \begin{array}{r@{}l} u(X,z) & = \mathit G{\mathrm r}\... ... T_{\text c}(X) + \mathit R{\mathrm a}\xspace \tau(z) \\ \end{array} \right.$$ (1.7)

Figure: Profils verticaux $\bar{u_0}(z)$ (à gauche) et $\tau(z)$ (à droite, pour $\mathit B{\mathrm i}\xspace$=0) décrivant complètement l'écoulement de base en géométrie cartésienne.

Les profils verticaux correspondants sont reproduits sur la figure . L'absence de vitesse verticale $w$ est la traduction du rejet des parois à l'infini : l'écoulement de base a ainsi été déterminé dans le cas d'une couche de fluide de longueur infinie ; la prise en compte des conditions aux limites sur les parois latérales introduirait l'existence d'une vitesse verticale près des bords, et un raccordement des solutions comme effectué par Sen et Davis (1982) devrait alors être envisagé.

Remarque : A partir de l'expression de la vitesse ainsi obtenue, il est possible d'avoir accès à la vitesse en surface dans le cas purement thermocapillaire ( $\mathit R{\mathrm a}\xspace = 0$). Nous trouvons alors :

$$\left.u(z=1)\right\vert _{\mathit R{\mathrm a}\xspace =0} = U_{\text{capillaire}} = - \frac{1}{4} \frac{\gamma \Delta T}{\rho \nu} \frac{h}{L}$$

Ce qui est à rapprocher de l'expression (), trouvée « à la main » ; l'ordre de grandeur alors trouvé est très correct.