B.2 Modélisation

Nous avons dans l'anneau une onde unique ; nous nous contentons donc d'une seule équation de Ginzburg-Landau complexe pour l'onde $A$^B.1. En notant $\lambda = \Re(\omega)$ le taux de croissance temporel et $\kappa$ le nombre d'onde d'une perturbation d'une solution de Stokes () de nombre d'onde $q$, nous pouvons en effet (Janiaud et al. (1992), Fauve (1987), Coullet et al. (1985)) :

$$\lambda = D_\parallel \kappa^2$$   avec$$\quad D_\parallel = - (1+c_1 c_2) + 2 \displaystyle \frac{q^2(1+c_2^2)}{\epsilon - q^2}$$

Cela nous donne dans le plan $(q,\epsilon)$ la limite de stabilité d'Eckhaus suivante :

   solution stable$$\Leftrightarrow \epsilon > \displaystyle \frac{3 + c_1 c_2 + 2 c_2^2}{1+c_1 c_2} q^2$$

Ainsi, pour l'équation de Ginzburg-Landau complexe, la limite de stabilité d'Eckhaus est une parabole proportionnelle à la parabole de stabilité marginale.

Mais comme nous l'avons noté, nous observons expérimentalement une dissymétrie $q \mapsto -q$ et une fermeture « par le dessus » ; aucun de ces deux effets n'est présent dans le cas de l'équation de Ginzburg-Landau. Nous introduisons donc des termes supplémentaires d'ordre supérieur (4 et 5 en $\epsilon^{1/2}$ dans notre cas au lieu de l'ordre 3 habituel de ${\mathbb{C}}$GL) dans l'équation d'amplitude. Introduire ces termes permet d'avoir au seuil une équation de ${\mathbb{C}}$GL classique qui se déforme progressivement au fur et à mesure que $\epsilon$ est augmenté. Nous proposons ainsi :

$$\tau_0 A_t = \epsilon (1+ c_0) A + \xi_0^2(1+ c_1)A_{xx} - g(1+ c_2)\vert A\vert^2 A$$

$$+ \xi_0 g \left(\underbrace{\gamma(1+\text{i}c_3)A\vert A\vert _x... ...xi_0^2 g \underbrace{\eta(1+\text{i}c_5)\vert A\vert^2 A_{xx}}_{\text{terme 3}}$$ (B.1)

Parmi tous les termes d'ordre 4 possibles en $A^2$ et $\partial_x$ -- $\vert A\vert^2A_x$, $A\vert A\vert^2_x$, $A^2\bar{A}_x=A\vert A\vert^2_x-\vert A\vert^2A_x$, $(\vert A\vert^2A)_x=A\vert A\vert^2_x+\vert A\vert^2A_x$ --, seuls $\vert A\vert^2A_x$ et $A\vert A\vert^2_x$ ont été retenus car les autres peuvent être écrits comme des combinaisons linéaires de ces deux-là. $A_{xxx}$ et les autres termes en $\partial_x$ d'ordre plus élevé ne sont pas étudiés car ils se signalent par une dépendance prononcée des amplitudes et fréquences vis-à-vis du nombre d'onde, ce qui n'est pas observé dans les expériences. D'autres termes d'ordre 4 en $A^2$ sont envisageables mais immédiatement éliminés pour des raisons de non-résonnance ($\vert A_x\vert^2$, $(A_x)^2$, $AA_{xx}$).

Parmi tous les termes d'ordre 5 (beaucoup plus nombreux), seul un terme ( $\vert A\vert^2 A_{xx}$) a été conservé car sa signature dans la pseudo-relation de dispersion ne fait pas intervenir des puissance de $q$ trop élevées et reste donc proche des résultats expérimentaux. Remarquons toutefois l'existence d'autres candidats possibles comme $\vert A_x\vert^2 A$, qui a la même signature dans la relation de dispersion et qui ne rend pas le système instable vis-à-vis des gradients de phase élevés.

Remarque : La vitesse de groupe $v_g$ a été éliminée car nous sommes en géométrie périodique. Cette équation ne décrit qu'une seule onde et la symétrie $y \mapsto -y$, associée à l'inversion $A \leftrightarrow B$ n'est de toute façon pas respectée par une seule équation ${\mathbb{C}}$GL. La présence de termes autorisés à briser la symétrie $q \mapsto -q$, donc la symétrie $y \mapsto -y$ est justifiée par le même argument.

Remarque : Nous pouvons interpréter les termes que nous avons rajoutés, non comme des termes d'ordre supérieur en $\epsilon$, mais comme les termes suivants du développement de la partie non-linéaire de l'équation en puissance de l'écart au nombre d'onde critique (développement en $q=k-k_0$). C'est alors l'approche de Eckhaus et Iooss (1989).

Convention : Pour des raisons de clarté, nous adimensionnalisons l'équation () comme exposé en  et nous posons dans toute la suite :

$$\left\{ \begin{array}{r@{\:}l} p &= 1+ \delta c_4 q + \et... ...w &= c_2 - \delta q + \eta c_5 q^2 \\ \end{array} \right.$$

En notant $A(x,t)=Q {\text e}^{i(qx-\omega t)}$ une solution stationnaire de l'équation modifiée (), nous avons les relations de dispersion (dimensionnées) suivantes :

$$\left\{ \begin{array}{r@{\:}l} p Q^2 &= \epsilon - q^2 \\... ...aystyle \frac{w}{p}-c_1\right) q^2 \\ \end{array} \right.$$

Nous avons alors cherché les conditions de stabilité d'une telle solution vis-à-vis de perturbations de phase afin de définir la région de stabilité des ondes dans le plan $(q,\epsilon)$. Nous exposons ces résultats dans le paragraphe suivant. Sauf mention du contraire, nous utilisons dorénavant les formes adimensionnées.