1.3.3.1 Rouleaux corotatifs de l'écoulement de base

Outre les ondes hydrothermales, l'écoulement de base se révèle instable vis-à-vis de modulations stationnaires de vecteur d'onde colinéaire au gradient de température appliqué. Ces modulations, vues sur la variable vitesse, se superposent à l'écoulement de base pour donner un écoulement structuré en rouleaux stationnaires co-rotatifs d'axe perpendiculaire au gradient de température.

Strani et al. (1983) ont observé numériquement ces rouleaux et Laure et al. (1990) ont donné les valeurs critiques associées à leur apparition. Comme l'ont montré Mercier et Normand (2000), ces rouleaux doivent être vus comme le développement spatial des perturbations dues à la présence de bords dans la direction du gradient de température ; un taux de croissance spatial est ainsi attaché à cette structuration de l'écoulement. Le tableau  résume les études théoriques ayant révélé la présence de rouleaux corotatifs grâce à la prise en compte du confinement dans la direction du gradient de la boîte étudiée. Le tableau  présente quant à lui les principales études numériques de l'écoulement de base et de sa structuration. Toutes confirment le résultat suivant de Mercier et Normand (2000), Mercier (1997) : les rouleaux apparaissent du côté froid pour les petits nombres de Prandtl ( $\mathit P{\mathrm r}\xspace \le 0,01$), du côté chaud pour les grands nombres de Prandtl ( $\mathit P{\mathrm r}\xspace \ge 4$) et des deux côtés pour les nombres de Prandtl intermédiaires.

Figure: Résumé des études théoriques des écoulements thermocapillaires en géométrie confinée dans la direction horizontale du gradient. La colonne « dim. » indique la dimensionnalité des perturbations étudiées. Les conditions aux limites sont abrégées : C : conducteur, I : isolant, B : loi de Newton et nombre de Biot avec profil de température conductif dans l'air, Bc : loi de Newton avec profil de température constant dans l'air. La colonne $k$ indique si le nombre d'onde est pris complexe (analyse de stabilité spatiale) ou non. Les résultats sont notés RC : rouleaux corotatifs, OH : ondes hydrothermales, RS : rouleaux stationnaires longitudinaux.

Notons dès à présent l'analogie formelle de notre problème avec celui dit de la « cavité entraînée » étudié par Bye (1966) où une contrainte mécanique^1.4 est appliquée à la surface libre d'un liquide contenu dans une cavité identique aux nôtres, et dans une moindre mesure avec le problème de Taylor-Dean. En effet, dans ces trois cas, le profil de vitesse est identique : il s'agit d'un profil de Couette-Poiseuille dont les mécanismes de déstabilisation peuvent être retrouvés dans chacun des systèmes.

Ces rouleaux ont été observés expérimentalement pour les grands nombres de Prandtl. En géométrie rectangulaire « unidimensionelle » Garcimartín et al. (1997) les ont vus dans une cellule de rapport d'aspect horizontal et de hauteur appropriés ( $\Gamma = 0,1$, $h=3$ mm) ; il en est de même pour Villers et Platten (1992) et De Saedeleer et al. (1996). Ces derniers ont mesuré précisement l'amortissement spatial de la structure, en parfait accord avec les prédictions de Mercier et Normand (2000). Les rouleaux corotatifs ont été rapportés en géométrie rectangulaire étendue par Riley et Neitzel (1998), Mukolobwiez (1998) et Pelacho et Burguete (1999). Schwabe et al. (1992) les ont observés en géométrie cylindrique ; nous les avons étudié en détail -- avec la visualisation de grande qualité nécessaire -- en géométrie cylindrique bidimensionnelle et nous rapportons des résultats quantitatifs dans le chapitre  (§ ).